Mathe
Was ist der Kehrwert einer Zahl, und wie bildet man ihn?
Kurze Antwort
Der Kehrwert einer Zahl ist 1 geteilt durch diese Zahl, sodass beide multipliziert 1 ergeben. Bei einem Bruch vertauscht man Zähler und Nenner, der Kehrwert von 3/4 ist 4/3.
In einem Satz
Der Kehrwert einer Zahl ist die Zahl, mit der man sie multiplizieren muss, um 1 zu erhalten: Bei einem Bruch dreht man ihn einfach um.
Erklärt
Schneide eine Pizza in 8 gleiche Stücke. Ein Stück ist 1/8 der Pizza, und 8 Stücke ergeben die ganze Pizza. Also ist 8 · 1/8 = 1. Die Zahlen 8 und 1/8 sind Kehrwerte voneinander.
Pizza
Tasse
Lineal
Die Regel ist kurz:
Kehrwert von x = 1 : x, und x · 1/x = 1 (für jede Zahl x außer 0)
Mathematisch heißt der Kehrwert auch reziproker Wert oder multiplikatives Inverses; auf Englisch sagt man reciprocal. Auf dem Taschenrechner findest du ihn mit der Taste x⁻¹ (oder 1/x): Der Exponent −1 bedeutet „eins durch“. (Siehe Potenzen.)
Wie man den Kehrwert bildet, hängt davon ab, wie die Zahl geschrieben ist:
- Ein Bruch: Zähler und Nenner vertauschen. Der Kehrwert von 2/7 ist 7/2.
- Eine ganze Zahl: als Bruch mit Nenner 1 schreiben, dann umdrehen. 5 = 5/1, also ist der Kehrwert 1/5.
- Ein Stammbruch: Der Kehrwert von 1/9 ist 9/1 = 9.
- Eine gemischte Zahl: zuerst in einen unechten Bruch umwandeln, dann umdrehen. 2 ½ = 5/2, also ist der Kehrwert 2/5.
- Eine Dezimalzahl: als Bruch schreiben oder 1 : Dezimalzahl rechnen. 0,25 = 1/4, also ist der Kehrwert 4.
- Eine negative Zahl: Das Minuszeichen bleibt. Der Kehrwert von −3 ist −1/3, denn (−3) · (−1/3) = +1.
Zwei Sonderfälle: Die 0 hat keinen Kehrwert (keine Zahl mal 0 ergibt 1, und durch 0 darf man nicht teilen), und 1 und −1 sind ihr eigener Kehrwert. Zweimal umdrehen führt zurück: Der Kehrwert des Kehrwerts von 3/5 ist wieder 3/5.
Große Zahlen haben kleine Kehrwerte, kleine Zahlen große. Der Kehrwert von 100 ist 0,01, der Kehrwert von 0,01 ist 100. Eine Zahl zwischen 0 und 1 hat immer einen Kehrwert größer als 1.
Am häufigsten braucht man den Kehrwert beim Dividieren von Brüchen: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. 3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8. Mehr dazu bei der Division von Brüchen.
Beispiele
| Zahl | als Bruch | Kehrwert | Probe |
|---|---|---|---|
| 6 | 6/1 | 1/6 | 6 · 1/6 = 1 |
| 3/8 | 3/8 | 8/3 (= 2 ⅔) | 3/8 · 8/3 = 24/24 = 1 |
| 1/10 | 1/10 | 10 | 1/10 · 10 = 1 |
| 1 ¾ | 7/4 | 4/7 | 7/4 · 4/7 = 1 |
| 0,5 | 1/2 | 2 | 0,5 · 2 = 1 |
| 0,2 | 1/5 | 5 | 0,2 · 5 = 1 |
| −2/9 | −2/9 | −9/2 | (−2/9) · (−9/2) = 1 |
| 1 | 1/1 | 1 | 1 · 1 = 1 |
| 0 | – | keiner | – |
Beispielaufgabe: Bilde den Kehrwert von 3 ⅓. Als unechter Bruch ist 3 ⅓ = (3 · 3 + 1)/3 = 10/3. Umdrehen: 3/10, also 0,3. Probe: 10/3 · 3/10 = 30/30 = 1.
Häufige Fehler
- Bei gemischten Zahlen nur den Bruchteil umdrehen. Der Kehrwert von 2 ½ ist nicht „2 und 2/1“. Erst umwandeln: 2 ½ = 5/2, Kehrwert 2/5.
- Das Vorzeichen ändern. Der Kehrwert von −4 ist −1/4, nicht 1/4. Eine Zahl und ihr Kehrwert haben immer dasselbe Vorzeichen.
- Kehrwert und Gegenzahl verwechseln. Kehrwerte ergeben multipliziert 1 (5 und 1/5). Gegenzahlen ergeben addiert 0 (5 und −5).
- Beim Dividieren den falschen Bruch umdrehen. Bei 2/3 : 4/5 bleibt der erste Bruch stehen, nur der Teiler wird umgedreht: 2/3 · 5/4.
Schritt für Schritt
Schritt für Schritt
- Als Bruch schreibenGanze Zahl: mit Nenner 1 schreiben. Gemischte Zahl: in einen unechten Bruch umwandeln. Dezimalzahl: als Bruch schreiben.
- UmdrehenZähler und Nenner vertauschen.
- Vorzeichen behaltenWar die Zahl negativ, ist auch ihr Kehrwert negativ.
- KürzenDas Ergebnis vollständig kürzen, oder als ganze Zahl bzw. gemischte Zahl schreiben.
- Probe machenZahl mal Ergebnis rechnen. Es muss genau 1 herauskommen.
Bei einer Dezimalzahl wie 1,25 kann man auch dividieren: 1 : 1,25 = 0,8. Oder über den Bruch: 1,25 = 5/4, der Kehrwert ist 4/5 = 0,8.
Übungsaufgaben
Bilde den Kehrwert
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Was ist der Kehrwert von 7?
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7 = 7/1, umgedreht: 1/7 - Was ist der Kehrwert von 1/9?
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1/9 umgedreht ist 9/1: 9 - Was ist der Kehrwert von 3/8?
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8/3 (= 2 ⅔) - Was ist der Kehrwert von 2 ½?
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2 ½ = 5/2, umgedreht: 2/5 - Was ist der Kehrwert von 0,5?
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0,5 = 1/2, umgedreht: 2 - Was ist der Kehrwert von 0,25?
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0,25 = 1/4, umgedreht: 4 - Was ist der Kehrwert von −6?
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Vorzeichen bleibt: −1/6 - Was ist der Kehrwert von −2/3?
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Umdrehen, Vorzeichen bleibt: −3/2 (= −1 ½) - Was ist der Kehrwert von 1?
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1 · 1 = 1, also 1 - Was ist der Kehrwert von 1,25?
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1,25 = 5/4, umgedreht: 4/5 = 0,8 - Was ist der Kehrwert von 3 ¼?
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3 ¼ = 13/4, umgedreht: 4/13 - Berechne 3/4 · 4/3.
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12/12 = 1 (es sind Kehrwerte) - Berechne 2/3 : 4/5 mit dem Kehrwert.
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2/3 · 5/4 = 10/12 = 5/6 - Berechne 6 : 3/4.
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6 · 4/3 = 24/3 = 8 - Was ist der negative Kehrwert von 5/2?
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Umdrehen und Vorzeichen wechseln: −2/5 - Welche Zahl hat keinen Kehrwert, und warum?
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Die 0, weil keine Zahl mal 0 gleich 1 ist (1 : 0 ist nicht definiert).
Sachaufgaben
Der Kehrwert im Alltag
Löse jede Aufgabe und prüfe dann deine Antwort.
- Wie viele 3/4-Liter-Flaschen kann man mit 6 Litern Saft füllen?
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6 : 3/4 = 6 · 4/3 = 8 Flaschen - Ein Band ist 5 m lang. Wie viele Stücke von 2/3 m kann man davon abschneiden?
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5 : 2/3 = 5 · 3/2 = 7,5, also 7 ganze Stücke (1/3 m bleibt übrig) - Für ein Blech Kekse braucht man 1/4 kg Mehl. Wie viele Bleche schafft man mit 3 kg?
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3 : 1/4 = 3 · 4 = 12 Bleche - Eine Gerade hat die Steigung 2/3. Welche Steigung hat eine Gerade, die senkrecht auf ihr steht?
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Der negative Kehrwert: −3/2 - Zwei Widerstände von je 6 Ω werden parallel geschaltet, also gilt 1/R = 1/6 + 1/6. Wie groß ist der Gesamtwiderstand R?
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1/R = 2/6 = 1/3, also ist R der Kehrwert von 1/3: 3 Ω
Häufige Fragen
Was ist der Kehrwert einer Zahl?
Das ist 1 geteilt durch die Zahl. Eine Zahl mal ihr Kehrwert ergibt immer 1: Der Kehrwert von 4 ist 1/4, der von 2/3 ist 3/2.
Was ist der Kehrwert von 1, 2, 3, 4 und 5?
Der Kehrwert von 1 ist 1, von 2 ist er 1/2 (= 0,5), von 3 ist er 1/3, von 4 ist er 1/4 (= 0,25) und von 5 ist er 1/5 (= 0,2).
Wie bildet man den Kehrwert eines Bruches?
Man vertauscht Zähler und Nenner: Aus 3/7 wird 7/3. Bei gemischten Zahlen wandelt man vorher in einen unechten Bruch um.
Was ist der Unterschied zwischen Kehrwert und Gegenzahl?
Die Gegenzahl von 5 ist −5, denn 5 + (−5) = 0: Nur das Vorzeichen ändert sich. Der Kehrwert von 5 ist 1/5, denn 5 · 1/5 = 1.
Warum multipliziert man beim Dividieren mit dem Kehrwert?
Teilen durch eine Zahl macht das Malnehmen mit ihr rückgängig, und genau das tut auch das Malnehmen mit dem Kehrwert. Zum Beispiel ist 6 : 2 = 3 und 6 · 1/2 = 3. Das gilt für jeden Teiler außer 0.
Was hat der Kehrwert mit Widerständen zu tun?
Bei einer Parallelschaltung addiert man die Kehrwerte der Widerstände: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂. Den Gesamtwiderstand R erhält man am Ende wieder als Kehrwert des Ergebnisses.
Kurzes Quiz
Kehrwert
Teste dein Wissen mit 5 kurzen Fragen.
Frage 1 von 5
Was ist der Kehrwert von 5/6?
Üben
Probier es aus
Brüche dividieren unbegrenzt üben
Bruchrechnen üben
Schritt für Schritt üben im ganzen Kurs: Mathe · Klasse 8
Für Erwachsene
Verwandte Themen
Brüche dividieren
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Den ersten Bruch abschreiben, aus geteilt wird mal, den zweiten umdrehen. 3/4 : 1/2 = 3/4 · 2/1 = 3/2.
Brüche multiplizieren
Brüche multiplizierst du, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest und dann kürzt. Ein gemeinsamer Nenner ist nicht nötig, 2/3 · 4/5 = 8/15.
Brüche
Ein Bruch ist ein Teil eines Ganzen, das in gleiche Teile geteilt wurde. Bei ¾ sagt die untere Zahl, in wie viele gleiche Teile geteilt wurde, die obere, wie viele du hast.
Unechte Brüche und gemischte Zahlen
Ein unechter Bruch hat einen größeren Zähler als Nenner, wie 7/4. Eine gemischte Zahl zeigt dieselbe Menge als ganze Zahl plus Bruch, wie 1 3/4.
Brüche addieren und subtrahieren
Beim Addieren und Subtrahieren machst du die Brüche zuerst gleichnamig. Dann rechnest du nur die Zähler und behältst den Nenner. Beispiel: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Brüche vergleichen
Zum Vergleichen prüfst du, ob die Brüche denselben Nenner oder Zähler haben, oder machst sie gleichnamig. Der größere Bruch ist der mit dem größeren Anteil am Ganzen.