O que é a distribuição normal e como usar?

Pese 1.000 maçãs do mesmo pomar. Algumas serão muito leves e outras muito pesadas, mas a maioria terá massa perto da média. Se você fizer um histograma das massas, com barras cada vez mais estreitas, o contorno vira uma curva suave em forma de sino. Essa curva é a distribuição normal, também chamada distribuição gaussiana ou curva de Gauss, em homenagem ao matemático Carl Friedrich Gauss.

Uma distribuição normal é definida por apenas dois números:

• a média μ, que diz onde fica o centro do sino;
• o desvio padrão σ, que diz a largura do sino (veja desvio padrão).

Escrevemos X ~ N(μ, σ²). Atenção: o segundo número é a variância. N(60, 16) quer dizer desvio padrão 4.

Suas características:

• É simétrica em relação à média, então média = mediana = moda.
• É contínua: a variável pode assumir qualquer valor real, não só inteiros. Por isso calculamos a probabilidade de um intervalo, e não de um valor exato: P(X = a) = 0.
• A área total sob a curva é 1, e a área entre dois valores é a probabilidade de cair entre eles.
• A curva nunca encosta no eixo horizontal, mas quase toda a área fica a até 3σ da média.

A regra 68-95-99,7 (regra empírica) dá estimativas rápidas: cerca de 68% dos valores ficam a até 1σ da média, cerca de 95% a até 2σ e cerca de 99,7% a até 3σ.

Para contas exatas, padronizamos. O escore z diz a quantos desvios padrão um valor está da média:

z = (x − μ) ÷ σ

Os valores z seguem a normal padrão (ou reduzida) Z ~ N(0, 1), com média 0 e desvio padrão 1. A tabela (ou a calculadora) dá Φ(z) = P(Z ≤ z), a área à esquerda de z. Algumas tabelas brasileiras trazem, em vez disso, a área entre 0 e z; nesse caso, some 0,5 para obter Φ(z) quando z for positivo.

Para o caminho inverso (achar x a partir de uma probabilidade), procure o z que dá essa área e use x = μ + zσ.

O que é o z na distribuição normal?#

É o escore padronizado: z = (x − μ) ÷ σ. Ele diz quantos desvios padrão um valor está acima (z positivo) ou abaixo (z negativo) da média, e permite usar uma única tabela para qualquer normal.

O que caracteriza a distribuição normal?#

Curva em sino, simétrica em torno da média; média, mediana e moda iguais; definida por μ e σ; área total igual a 1; cerca de 68%, 95% e 99,7% dos valores a até 1σ, 2σ e 3σ da média.

Como resolver um exercício de distribuição normal?#

Desenhe o sino, padronize com z = (x − μ) ÷ σ, consulte a tabela e ajuste: complementar para "maior que", diferença para "entre". Por fim, confira com o esboço.

A distribuição normal também é conhecida como?#

Distribuição gaussiana, curva de Gauss ou curva em sino. A versão com média 0 e desvio padrão 1 é a normal padrão (ou reduzida).

Como fazer distribuição normal no Excel?#

=DIST.NORM.N(x; média; desv_padrão; VERDADEIRO) dá P(X ≤ x). =DIST.NORMP.N(z; VERDADEIRO) dá Φ(z), e =INV.NORM.N(p; média; desv_padrão) faz o caminho inverso.

Para que serve a distribuição normal?#

Para modelar dados que se agrupam de forma simétrica em torno de uma média (alturas, erros de medida, o enchimento de uma máquina), para avaliar se um valor é incomum e como base de muitos testes estatísticos, inclusive na análise de riscos financeiros.