Matemática
O que é probabilidade condicional e como calcular?
Resposta rápida
Probabilidade condicional é a chance de um evento A quando você já sabe que o evento B aconteceu. Escreve-se P(A|B) e calcula-se com P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B).
Numa frase
Probabilidade condicional é a probabilidade de algo acontecer quando você já sabe que outra coisa aconteceu.
Explicação
Lance um dado honesto. A probabilidade de sair 6 é 1/6. Agora um amigo espia e diz: "Saiu par." De repente só 2, 4 e 6 são possíveis, e um desses três é o 6. A probabilidade de sair 6 dado que saiu par é 1/3. O dado não mudou; o que mudou foi a informação que você tem, e isso encolhe o espaço amostral.
bolsa
bola
chuva
Escrevemos P(A|B) e lemos "probabilidade de A dado B" (ou "de A sabendo que B ocorreu"). A barra vertical quer dizer "dado". A é o evento que interessa; B é o que você já sabe. A fórmula é:
P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B), desde que P(B) não seja 0.
Em palavras: de todas as vezes em que B acontece, em que fração delas A também acontece? Contando casos é ainda mais simples: casos em que A e B ocorrem juntos ÷ casos de B. Se você domina probabilidade básica e frações, já tem tudo o que precisa.
Isolando o termo de cima, aparece a regra do produto, usada no diagrama de árvore:
P(A∩B) = P(B) · P(A|B)
As probabilidades nos segundos galhos de uma árvore são condicionais: elas supõem que o primeiro galho já aconteceu. É por isso que, nas retiradas "sem reposição", os números dos segundos galhos mudam.
Dois eventos são independentes quando saber que um ocorreu não diz nada sobre o outro. Então P(A|B) = P(A), e a regra do produto vira P(A∩B) = P(A) · P(B). Lançamentos de moeda são independentes; tirar duas balas de um pacote sem devolver a primeira não é.
Cuidado com a ordem: P(A|B) e P(B|A) costumam ser diferentes. Quase todo jogador de futebol corre rápido, mas quase ninguém que corre rápido é jogador de futebol. Passar de uma para a outra é o trabalho do teorema de Bayes: P(B|A) = P(A|B) · P(B) ÷ P(A).
Exemplos
Uma tabela de dupla entrada. Uma turma de 30 alunos respondeu sobre esporte e música:
| Toca instrumento | Não toca | Total | |
|---|---|---|---|
| Pratica esporte | 8 | 10 | 18 |
| Não pratica | 4 | 8 | 12 |
| Total | 12 | 18 | 30 |
- Probabilidade de um aluno tocar instrumento dado que pratica esporte: olhe só a linha do esporte. 8 de 18, então 8/18 = 4/9.
- Probabilidade de praticar esporte dado que toca instrumento: olhe só essa coluna. 8 de 12, então 8/12 = 2/3. Não é igual a 4/9: a ordem importa.
Com a fórmula. P(A∩B) = 0,12 e P(B) = 0,4, então P(A|B) = 0,12 ÷ 0,4 = 0,3.
Sem reposição. Um saco tem 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Você tira uma, fica com ela, e tira outra. Se a primeira foi vermelha, sobram 4 vermelhas em 7, então P(2ª vermelha | 1ª vermelha) = 4/7. A chance de as duas serem vermelhas é 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14.
Um exame médico (números inventados). Imagine que 1% das pessoas tem uma doença. Um exame detecta 90% de quem tem a doença, mas também dá positivo para 5% de quem não tem. Pense em 10.000 pessoas: 100 têm a doença e 90 delas dão positivo; 9.900 não têm, e 5% delas, 495 pessoas, também dão positivo. Ao todo, 90 + 495 = 585 dão positivo, e P(tem a doença | positivo) = 90 ÷ 585 = 2/13, cerca de 15%. Como a doença é rara, a maioria dos positivos é alarme falso; por isso um primeiro resultado positivo costuma ser confirmado com outro exame.
Erros comuns
- Inverter a ordem. P(A|B) não é P(B|A). Correção: diga em palavras ("a chance de A entre os B") antes de calcular.
- Dividir pelo total errado. Com "dado B", divida pelo número de casos (ou pela probabilidade) de B, não pelo grupo todo. Na turma acima, é 8/18, não 8/30.
- Confundir "dado" com "e". P(A∩B) é uma parte do grupo todo; P(A|B) é uma parte só de B. P(A∩B) nunca é maior que P(A|B).
- Esquecer de atualizar a segunda retirada. Sem reposição, diminuem em um tanto o total quanto a quantidade daquela cor.
Passo a passo
Passo a passo
- Encontre a condiçãoProcure "dado que", "sabendo que", "se", "entre os que". Esse evento é B.
- Ache o novo totalConte os casos de B ou calcule P(B). Ele substitui o grupo inteiro.
- Ache a interseçãoConte os casos que estão em A e em B ao mesmo tempo, ou calcule P(A∩B).
- DividaP(A|B) = interseção ÷ novo total.
- ConfiraO resultado tem de estar entre 0 e 1. Compare com P(A): se for igual, A e B são independentes.
Exercícios
Probabilidade condicional
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Lance um dado honesto. Calcule P(5 | ímpar).
Ver resposta
Ímpares: 1, 3, 5 (3 casos). Um deles é o 5: 1/3 - Lance um dado. Calcule P(par | maior que 2).
Ver resposta
Maiores que 2: 3, 4, 5, 6. Pares entre eles: 4 e 6. 2/4 = 1/2 - Lance um dado. Calcule P(menor que 3 | par).
Ver resposta
Pares: 2, 4, 6. Só o 2 é menor que 3: 1/3 - P(A∩B) = 0,2 e P(B) = 0,5. Calcule P(A|B).
Ver resposta
0,2 ÷ 0,5 = 0,4 - P(A∩B) = 0,15 e P(A) = 0,6. Calcule P(B|A).
Ver resposta
0,15 ÷ 0,6 = 0,25 - P(B) = 0,3 e P(A|B) = 0,5. Calcule P(A∩B).
Ver resposta
0,3 · 0,5 = 0,15 - Um saco tem 4 fichas vermelhas e 6 verdes. Tiram-se duas sem reposição. Calcule P(2ª vermelha | 1ª vermelha).
Ver resposta
Sobram 3 vermelhas em 9: 3/9 = 1/3 - Mesmo saco. Calcule P(as duas vermelhas).
Ver resposta
4/10 · 3/9 = 12/90 = 2/15 - Mesmo saco. Calcule P(2ª vermelha | 1ª verde).
Ver resposta
Sobram 4 vermelhas em 9: 4/9 - Use a tabela da turma. Calcule P(esporte | não toca instrumento).
Ver resposta
18 não tocam; 10 deles praticam esporte: 10/18 = 5/9 - Use a tabela. Calcule P(não pratica esporte | toca instrumento).
Ver resposta
12 tocam; 4 deles não praticam: 4/12 = 1/3 - P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 e P(A∩B) = 0,2. A e B são independentes?
Ver resposta
0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A∩B), e P(A|B) = 0,2 ÷ 0,4 = 0,5 = P(A): sim - P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 e P(A∩B) = 0,1. São independentes?
Ver resposta
0,3 · 0,6 = 0,18, que não é 0,1: não - Lançam-se duas moedas. Sabendo que saiu pelo menos uma cara, calcule P(duas caras).
Ver resposta
Com C = cara e K = coroa, pelo menos uma cara: CC, CK, KC (3 casos). Duas caras: 1 deles: 1/3 - Lançam-se dois dados. Sabendo que a soma é 8, calcule P(os dois mostram 4).
Ver resposta
Soma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), 5 casos. Só (4,4) serve: 1/5 - P(A|B) = 0,6, P(B) = 0,5 e P(A) = 0,4. Calcule P(B|A).
Ver resposta
P(A∩B) = 0,5 · 0,6 = 0,3, então P(B|A) = 0,3 ÷ 0,4 = 0,75
Problemas
Probabilidade condicional no dia a dia
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Num grupo de 40 alunos, 25 gostam de futebol, e 10 desses também gostam de basquete. Sorteia-se um fã de futebol. Qual é a probabilidade de ele gostar de basquete?
Ver resposta
10 ÷ 25 = 2/5 (0,4) - A probabilidade de chover amanhã é 0,3. Se chover, a probabilidade de o ônibus atrasar é 0,4; se não chover, é 0,1. Qual é a probabilidade de chover e o ônibus atrasar?
Ver resposta
0,3 · 0,4 = 0,12 - Mesma situação. Qual é a probabilidade de o ônibus atrasar?
Ver resposta
Chuva e atraso: 0,12. Sem chuva e atraso: 0,7 · 0,1 = 0,07. Total: 0,19 - Mesma situação. O ônibus atrasou. Qual é a probabilidade de ter chovido?
Ver resposta
0,12 ÷ 0,19 = 12/19 ≈ 0,63 - Uma dúzia de ovos tem 3 rachados. Você pega dois sem olhar. Qual é a probabilidade de o segundo estar rachado, dado que o primeiro estava?
Ver resposta
Sobram 2 rachados em 11: 2/11 - Uma máquina testa 2.000 celulares, e 5% deles têm defeito. Ela acusa 95% dos defeituosos e, por engano, 4% dos bons. Um celular foi acusado. Qual é a probabilidade de ele ter defeito mesmo?
Ver resposta
Defeituosos: 100, acusados 95. Bons: 1.900, acusados 76. 95 ÷ (95 + 76) = 95/171 = 5/9 ≈ 0,56
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da probabilidade condicional?
P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B): a probabilidade de os dois eventos ocorrerem dividida pela probabilidade do evento que você já sabe que ocorreu. Contando casos: casos de A e B ÷ casos de B.
Como identificar uma probabilidade condicional num problema?
Procure expressões como "dado que", "sabendo que", "entre os que" ou "escolhe-se um … que …". Sempre que o enunciado restringe o grupo antes da pergunta, é probabilidade condicional.
O que é probabilidade condicional e independência?
A e B são independentes quando P(A|B) = P(A), o que equivale a P(A∩B) = P(A) · P(B). Uma moeda continua com chance 1/2 de dar cara, seja qual for o lançamento anterior.
Qual é a relação com o teorema de Bayes?
A probabilidade condicional é a ideia e a fórmula básica. O teorema de Bayes é construído a partir dela e "inverte" P(A|B) para obter P(B|A). O exemplo do exame médico é um cálculo de Bayes.
Como usar o diagrama de árvore?
Coloque o primeiro evento nos primeiros galhos e o segundo nos galhos seguintes, com as probabilidades que valem depois do primeiro. Multiplique ao longo de cada caminho. Numa pergunta com "dado que", divida o caminho que você quer pela soma dos caminhos que cumprem a condição.
Quiz rápido
Probabilidade condicional
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Pergunta 1 de 5
Você lança um dado honesto e alguém conta que saiu um número par. Qual é a probabilidade de ser um 4?
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Probabilidade
Probabilidade mede o quanto algo tem chance de acontecer, numa escala de 0 (impossível) a 1 (certo). Uma moeda honesta dar cara tem probabilidade de 1/2.
Diagramas de Venn
O diagrama de Venn usa círculos que se sobrepõem para separar coisas em grupos. A parte comum mostra o que pertence aos dois grupos, e a parte de fora mostra o que não pertence a nenhum.
Frações
Fração é uma parte de um todo dividido em partes iguais. Em ¾, o número de baixo diz em quantas partes iguais o todo foi dividido e o de cima diz quantas você tem.
Porcentagem
Porcentagem é um número em relação a 100, escrito com o sinal %. Assim, 25% quer dizer 25 em cada 100, o mesmo que um quarto.
Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Numa moeda, Ω = {cara, coroa}; num dado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A distribuição binomial
A distribuição binomial B(n, p) dá a probabilidade de k sucessos em n tentativas independentes com probabilidade de sucesso p: P(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. A média é np.