O que é a distribuição binomial e como usar a fórmula?

Uma jogadora converte 80% dos pênaltis que bate. Se ela bater 5 pênaltis, qual é a chance de fazer exatamente 4 gols? Cada pênalti é uma tentativa com dois resultados: sucesso (gol) ou fracasso (erro). O número de gols X pode ser 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, e a distribuição binomial dá a probabilidade de cada valor. Cada tentativa desse tipo se chama ensaio de Bernoulli.

O que caracteriza a distribuição binomial são quatro condições:

• dois resultados em cada tentativa: sucesso ou fracasso;
• tentativas independentes: uma não afeta a outra;
• um número fixo de tentativas n, conhecido de antemão;
• a mesma probabilidade de sucesso p em todas as tentativas.

Então escrevemos X ~ B(n, p): «X segue uma distribuição binomial com n tentativas e probabilidade de sucesso p». A fórmula é

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Cada parte tem uma função. pᵏ é a chance dos k sucessos, (1 − p)ⁿ⁻ᵏ a chance dos n − k fracassos, e o número binomial C(n, k) conta de quantas ordens diferentes esses sucessos podem aparecer. Em 5 pênaltis com 4 gols, o erro pode ser no 1º, 2º, 3º, 4º ou 5º, então C(5, 4) = 5. Você acha C(n, k) com a tecla nCr da calculadora científica, pelo triângulo de Pascal ou por n! ÷ (k! · (n − k)!).

Assim, P(X = 4) = 5 · 0,8⁴ · 0,2 = 5 · 0,4096 · 0,2 = 0,4096.

Mais três fatos usados o tempo todo:

• Média (valor esperado): μ = np. Em 5 pênaltis, ela faz em média 5 · 0,8 = 4 gols.
• Variância: σ² = np(1 − p), e o desvio padrão é σ = √(np(1 − p)). Veja desvio padrão.
• Probabilidade acumulada: P(X ≤ k) soma P(X = 0) até P(X = k). Tabelas e calculadoras dão esse valor direto.

A distribuição binomial é discreta: X só assume valores inteiros de 0 a n. Ela é simétrica quando p = 0,5, assimétrica à direita quando p é pequeno e à esquerda quando p é próximo de 1. Quando n é grande e p não está muito perto de 0 nem de 1, seu formato se aproxima do sino da distribuição normal.

Para que é usada a distribuição binomial?#

Para contar sucessos em tentativas repetidas de sim ou não: gols em pênaltis, peças com defeito num lote, acertos no chute numa prova, pacientes que respondem a um tratamento.

Quando usar a distribuição binomial?#

Quando as quatro condições valem: dois resultados, tentativas independentes, n fixo e p igual em todas. Retiradas com reposição costumam ser binomiais; sem reposição, em geral não.

Qual é a média da distribuição binomial?#

μ = np. Para 10 sementes com 90% de chance de germinar, a média é 9. A variância é np(1 − p) e o desvio padrão é a raiz dela.

Como calcular a distribuição binomial na calculadora científica?#

Use a tecla nCr para o número binomial e as potências na própria calculadora: para C(5, 4) · 0,8⁴ · 0,2, digite 5 nCr 4 × 0,8^4 × 0,2 e obtenha 0,4096. Calculadoras gráficas têm funções prontas, como binompdf e binomcdf.

Como fazer a distribuição binomial no Excel?#

=DISTR.BINOM(k; n; p; FALSO) dá P(X = k) e =DISTR.BINOM(k; n; p; VERDADEIRO) dá P(X ≤ k). Na versão em inglês, a função se chama BINOM.DIST.

O que é uma distribuição binomial negativa?#

Ela inverte a pergunta: em vez de fixar o número de tentativas e contar sucessos, conta quantas tentativas (ou fracassos) são necessárias até chegar a um número fixo de sucessos.