Matemática
O que são variância e desvio padrão, e como calcular?
Resposta rápida
A variância e o desvio padrão medem o quanto os dados se espalham em torno da média. A variância é a média dos desvios ao quadrado; o desvio padrão é a raiz quadrada dela.
Numa frase
A variância e o desvio padrão dizem o quanto um conjunto de números está espalhado: um valor pequeno significa dados perto da média; um valor grande, dados longe dela.
Explicação
Pense em duas jogadoras de basquete com média de 14 pontos por jogo. Uma marca 12, 14 ou 16 quase sempre. A outra marca 4 num jogo e 24 no seguinte. A média é a mesma, mas as jogadoras são muito diferentes. O desvio padrão é o número que mostra essa diferença: ele mede a regularidade, ou seja, a dispersão.
bola de futebol
régua
relógio
A ideia é ver a que distância cada valor está da média. Essas distâncias se chamam desvios. Alguns são positivos e outros negativos, e a soma deles é sempre zero, então não adianta tirar a média deles direto. Em vez disso, elevamos cada desvio ao quadrado (assim todos ficam positivos) e tiramos a média desses quadrados. Isso é a variância:
σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
A variância fica em unidades ao quadrado (cm², pontos²), o que é difícil de interpretar. Por isso tiramos a raiz quadrada para voltar à unidade dos dados. Isso é o desvio padrão:
σ = √variância
Os símbolos: σ (sigma minúsculo) é o desvio padrão da população e σ² a variância; para uma amostra escrevemos s e s². Σ (sigma maiúsculo) quer dizer "some tudo", x̄ é a média e n é a quantidade de dados.
População ou amostra? Se os seus dados são o grupo inteiro que interessa, divida por n. Se são uma amostra usada para estimar uma população maior, divida por n − 1: o resultado fica um pouco maior e corrige o fato de que uma amostra costuma subestimar a dispersão. Os exercícios costumam dizer qual usar. Nesta página dividimos por n, a não ser que a questão fale em "amostra".
Existe uma fórmula mais rápida, que evita calcular cada desvio: σ² = (Σx² ÷ n) − x̄², "a média dos quadrados menos o quadrado da média". Ela dá exatamente o mesmo resultado e é a que as calculadoras usam.
Exemplos
Dados: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). A média é 40 ÷ 8 = 5.
| x | Desvio x − 5 | Ao quadrado |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
Os quadrados somam 32. Variância = 32 ÷ 8 = 4. Desvio padrão = √4 = 2.
Agora as duas jogadoras em cinco jogos. Jogadora A: 10, 12, 14, 16, 18. Jogadora B: 4, 8, 14, 20, 24. As duas têm média 14. Para A, os quadrados dos desvios são 16, 4, 0, 4, 16 (soma 40): variância 8 e desvio padrão √8 ≈ 2,83. Para B, são 100, 36, 0, 36, 100 (soma 272): variância 54,4 e desvio padrão ≈ 7,38. A jogadora A é bem mais regular.
Erros comuns
- Esquecer de elevar os desvios ao quadrado. Os desvios simples sempre somam 0. Correção: eleve cada um ao quadrado antes de somar.
- Parar na variância. Correção: se a questão pede o desvio padrão, tire a raiz quadrada no final.
- Confundir n com n − 1. Correção: população → divida por n; amostra → divida por n − 1. Na calculadora, σx (ou σn) é o valor da população e sx (ou σn−1) o da amostra.
- Errar a posição do quadrado da média. Na fórmula rápida é (Σx² ÷ n) − x̄², e não Σx² ÷ n² nem (Σx)² ÷ n.
Passo a passo
Passo a passo
- Calcule a médiaSome todos os valores e divida pela quantidade.
- Calcule cada desvioSubtraia a média de cada valor (x − x̄).
- Eleve ao quadradoEleve cada desvio ao quadrado para que todos fiquem positivos.
- Tire a média dos quadradosSome os quadrados e divida por n (ou por n − 1, se for amostra). Essa é a variância.
- Tire a raizA raiz quadrada da variância é o desvio padrão, na mesma unidade dos dados.
Com uma tabela de frequências, multiplique pela frequência: média = Σfx ÷ Σf e variância = (Σfx² ÷ Σf) − média². Com dados agrupados em classes, use o ponto médio de cada classe como x; o resultado é uma estimativa.
Exercícios
Variância e desvio padrão
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Qual é o desvio padrão de 4, 4, 4, 4?
Ver resposta
Todos os valores são iguais à média: 0 - A variância é 25. Qual é o desvio padrão?
Ver resposta
√25 = 5 - O desvio padrão é 3. Qual é a variância?
Ver resposta
3² = 9 - Calcule a variância de 2, 4, 6, 8.
Ver resposta
Média 5; quadrados 9, 1, 1, 9; soma 20; 20 ÷ 4 = 5 - Calcule o desvio padrão de 2, 4, 6, 8.
Ver resposta
√5 ≈ 2,24 (2 casas decimais) - Calcule o desvio padrão de 1, 3, 5, 7, 9.
Ver resposta
Média 5; quadrados 16, 4, 0, 4, 16 = 40; variância 8; √8 ≈ 2,83 - Calcule o desvio padrão de 3, 5, 7.
Ver resposta
Média 5; quadrados 4, 0, 4 = 8; variância 8 ÷ 3 ≈ 2,67; σ ≈ 1,63 - Sem calcular de novo, qual é o desvio padrão de 13, 15, 17?
Ver resposta
São 3, 5, 7 com 10 somado a cada valor; a dispersão não muda: ≈ 1,63 - Todos os valores de um conjunto são dobrados. O que acontece com o desvio padrão e com a variância?
Ver resposta
O desvio padrão dobra e a variância é multiplicada por 4. - Calcule o desvio padrão de 5, 7, 8, 10, 15.
Ver resposta
Média 9; quadrados 16, 4, 1, 1, 36 = 58; variância 11,6; σ = √11,6 ≈ 3,41 - n = 5, Σx = 30 e Σx² = 200. Calcule o desvio padrão.
Ver resposta
Média 6; variância 200 ÷ 5 − 6² = 40 − 36 = 4; σ = 2 - Calcule o desvio padrão amostral s de 2, 4, 6, 8.
Ver resposta
Os quadrados somam 20; s² = 20 ÷ 3 ≈ 6,67; s ≈ 2,58 - Os valores 1, 2, 3 têm frequências 2, 5, 3. Calcule o desvio padrão.
Ver resposta
Σf = 10, Σfx = 21, média 2,1; Σfx² = 49; variância 4,9 − 4,41 = 0,49; σ = 0,7 - O conjunto A é 48, 50, 52 e o B é 30, 50, 70. Qual tem o maior desvio padrão?
Ver resposta
Mesma média (50), mas os valores de B estão bem mais longe dela: o conjunto B
Problemas
Dispersão na vida real
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- As temperaturas ao meio-dia numa semana foram 18, 20, 21, 19, 22, 23 e 17 °C. Calcule o desvio padrão.
Ver resposta
Média 140 ÷ 7 = 20; quadrados 4, 0, 1, 1, 4, 9, 9 = 28; variância 4; σ = 2 °C - Um salgado custa R$ 1,20, R$ 1,40, R$ 1,50 e R$ 1,90 em quatro lanchonetes. Calcule o desvio padrão dos preços.
Ver resposta
Média R$ 1,50; quadrados 0,09; 0,01; 0; 0,16 = 0,26; variância 0,065; σ ≈ R$ 0,25 (2 casas decimais) - Uma prova tem média 70 e desvio padrão 5. Ana tirou 80. Quantos desvios padrão acima da média ela está?
Ver resposta
(80 − 70) ÷ 5 = 2 desvios padrão acima - Uma máquina enche pacotes de arroz com média de 1000 g e desvio padrão de 4 g. Um pacote pesa 992 g. Isso é incomum?
Ver resposta
(992 − 1000) ÷ 4 = −2: ele está 2 desvios padrão abaixo da média, bastante incomum. - Dois velocistas têm a mesma média nos 100 m. X tem σ = 0,1 s e Y tem σ = 0,4 s. Quem é mais regular?
Ver resposta
Menor desvio padrão, menos dispersão: o velocista X
Perguntas frequentes
Variância e desvio padrão são a mesma coisa?
Não, mas estão ligados. Os dois medem dispersão: a variância é a média dos desvios ao quadrado (unidade ao quadrado), e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, na mesma unidade dos dados. Para transformar um no outro, basta elevar ao quadrado ou tirar a raiz.
Como interpretar o desvio padrão?
Um desvio padrão grande indica dados espalhados, longe da média; um desvio padrão pequeno indica dados concentrados perto da média. Ele é sempre lido junto com a média.
O que é coeficiente de variação?
É o desvio padrão dividido pela média, geralmente em porcentagem: CV = (σ ÷ x̄) × 100%. Serve para comparar a dispersão de conjuntos com médias muito diferentes. Para a jogadora A acima, CV = 2,83 ÷ 14 ≈ 20%.
O que é amplitude?
É o maior valor menos o menor. É a medida de dispersão mais simples, mas depende só de dois valores; a variância e o desvio padrão usam todos os dados.
Como calcular na calculadora científica?
Entre no modo estatístico (STAT), digite os dados e leia σx para uma população ou sx para uma amostra.
Como calcular no Excel?
Use =DESVPAD.P(A1:A10) para uma população e =DESVPAD.A(A1:A10) para uma amostra. VAR.P e VAR.A dão as variâncias. O desvio padrão também é a base da distribuição normal.
Quiz rápido
Variância e desvio padrão
Veja o que você sabe com 4 perguntas rápidas.
Pergunta 1 de 4
Qual é o desvio padrão de 5, 5, 5, 5?
Pratique
Experimenta
Pratique variância e desvio padrão sem limite
Fichas de estatística
Pratique passo a passo em um curso completo: Matemática · 2ª série do Ensino Médio
Para os adultos
Temas relacionados
Média, mediana e moda
Média, mediana e moda são três tipos de valor típico. A média reparte o total por igual, a mediana é o valor do meio em ordem e a moda é o valor mais frequente.
A distribuição normal
A distribuição normal (ou gaussiana) tem uma curva simétrica em forma de sino, definida pela média μ e pelo desvio padrão σ. Cerca de 68% dos valores ficam a até 1σ da média.
Gráficos de barras
O gráfico de barras mostra dados com barras de comprimentos diferentes. Quanto maior a barra, maior o número. Com barras na vertical, também é chamado de gráfico de colunas.
A distribuição binomial
A distribuição binomial B(n, p) dá a probabilidade de k sucessos em n tentativas independentes com probabilidade de sucesso p: P(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. A média é np.
Quartis e amplitude interquartil
Os quartis dividem os dados ordenados em quatro partes iguais. A amplitude interquartil é o terceiro quartil menos o primeiro, AIQ = Q₃ − Q₁: a dispersão da metade central.
Probabilidade condicional
Probabilidade condicional é a chance de um evento A quando você já sabe que o evento B aconteceu. Escreve-se P(A|B) e calcula-se com P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B).