Matemática
O que são quartis e como calcular a amplitude interquartil?
Resposta rápida
Os quartis dividem os dados ordenados em quatro partes iguais. A amplitude interquartil é o terceiro quartil menos o primeiro, AIQ = Q₃ − Q₁: a dispersão da metade central.
Numa frase
Os quartis são os três valores que dividem um conjunto de dados ordenados em quatro partes iguais, e a amplitude interquartil (AIQ) é a distância entre o terceiro e o primeiro quartil: a dispersão da metade central dos dados.
Explicação
Coloque onze alunos em fila pela nota numa prova, da menor para a maior. Quem fica no meio tem a mediana. Agora divida cada metade ao meio de novo. Você obtém três pontos de corte:
- Q₁, primeiro quartil (quartil inferior): um quarto dos dados fica abaixo dele. É também o percentil 25.
- Q₂, segundo quartil: é a mediana; metade dos dados fica abaixo.
- Q₃, terceiro quartil (quartil superior): três quartos dos dados ficam abaixo. É o percentil 75.
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A amplitude interquartil (também chamada intervalo interquartil, AIQ, ou IQR em inglês) mede o quanto a metade central dos dados está espalhada:
Amplitude interquartil (AIQ) = terceiro quartil − primeiro quartil = Q₃ − Q₁
Ela tem a mesma unidade dos dados: se os dados são notas, a AIQ é em pontos; se são minutos, em minutos.
Por que não usar só a amplitude total (maior − menor)? Porque ela depende dos dois valores mais extremos, e um único valor muito diferente dos outros, um outlier (valor discrepante), pode deixá-la enorme. A AIQ joga fora o quarto de baixo e o quarto de cima e mostra o quanto os valores típicos estão próximos. AIQ pequena: a metade central é homogênea. AIQ grande: ela está espalhada.
O método mais usado (o "método das metades"):
- Ordene os dados e encontre a mediana.
- A metade inferior são os valores abaixo da mediana; Q₁ é a mediana dela.
- A metade superior são os valores acima da mediana; Q₃ é a mediana dela.
Se o número de dados é ímpar, a própria mediana não entra em nenhuma das metades. Alguns livros usam posições, como (n + 1)/4 para Q₁ e 3(n + 1)/4 para Q₃. Com 7, 11, 15, 19… dados esses dois métodos coincidem (funções de planilha como QUARTIL.INC podem dar outro valor); com outros tamanhos podem dar resultados um pouco diferentes, então use o do seu professor.
Os quartis formam, com o mínimo e o máximo, o resumo dos cinco números do boxplot (diagrama de caixa, também chamado diagrama de extremos e quartis). A caixa vai de Q₁ a Q₃, então o comprimento da caixa é a AIQ. Para muitos dados ou dados agrupados, os quartis saem da frequência acumulada nas posições n/4 e 3n/4. A mediana é explicada em média, mediana e moda, e uma medida de dispersão que usa todos os valores é o desvio padrão.
Exemplos
Exemplo resolvido: as notas (de 0 a 50) de 11 alunos são 18, 22, 25, 27, 30, 31, 33, 36, 38, 41, 45.
- Mediana: o 6º valor, 31.
- Metade inferior: 18, 22, 25, 27, 30, então Q₁ = 25.
- Metade superior: 33, 36, 38, 41, 45, então Q₃ = 38.
- AIQ = 38 − 25 = 13 pontos. (A amplitude total é 45 − 18 = 27 pontos.)
| Dados ordenados | n | Q₁ | Mediana | Q₃ | AIQ |
|---|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 5, 7, 9, 10, 13 | 7 | 4 | 7 | 10 | 6 |
| 1, 3, 3, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 18, 20 | 11 | 3 | 9 | 15 | 12 |
| 10, 12, 15, 16, 19, 22 | 6 | 12 | 15,5 | 19 | 7 |
| 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 20 | 10 | 6 | 10 | 14 | 8 |
Com um número par de dados, eles se dividem em duas metades iguais. Na última linha, a mediana é (9 + 11)/2 = 10, a metade inferior é 3, 4, 6, 8, 9 e a superior é 11, 12, 14, 17, 20.
Exemplo com outlier: a mesada semanal de sete amigos é R$ 4, R$ 5, R$ 5, R$ 6, R$ 7, R$ 8 e R$ 30. Q₁ = R$ 5 e Q₃ = R$ 8, então a AIQ é R$ 3, enquanto a amplitude total é R$ 26. Os R$ 30 fazem a amplitude parecer enorme, mas a AIQ mostra que quase todos recebem valores parecidos.
Erros comuns
- Esquecer de ordenar os dados. Quartis só fazem sentido com os dados em ordem. Correção: reescreva a lista do menor para o maior e confira se continua com n valores.
- Colocar a mediana nas duas metades. Com n ímpar, deixe a mediana fora das duas.
- Dar os quartis em vez da AIQ. "Q₁ = 25 e Q₃ = 38" não responde a "calcule a amplitude interquartil". Correção: termine sempre com Q₃ − Q₁ = 13.
- Confundir AIQ com amplitude total. A amplitude total usa os extremos (máximo − mínimo); a AIQ usa os quartis (Q₃ − Q₁).
Passo a passo
Passo a passo
- OrdeneEscreva os dados do menor para o maior e conte quantos são (n).
- Ache a medianaO valor do meio, ou a média dos dois do meio se n for par.
- DividaSepare a metade inferior e a superior (sem a mediana, se n for ímpar).
- Ache Q₁ e Q₃Q₁ é a mediana da metade inferior; Q₃, a mediana da metade superior.
- SubtraiaAIQ = Q₃ − Q₁. Coloque a unidade e confira que Q₁ ≤ mediana ≤ Q₃.
Para identificar outliers, uma regra muito usada diz que um valor é discrepante se estiver mais de 1,5 · AIQ abaixo de Q₁ ou acima de Q₃.
Exercícios
Quartis e amplitude interquartil
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Q₁ = 12 e Q₃ = 20. Calcule a AIQ.
Ver resposta
20 − 12 = 8 - O primeiro quartil é 3,5 e o terceiro é 9,2. Calcule a AIQ.
Ver resposta
9,2 − 3,5 = 5,7 - Ache Q₁, a mediana e Q₃ de 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11.
Ver resposta
Mediana 6; metade inferior 2, 3, 5; metade superior 8, 9, 11: Q₁ = 3, mediana = 6, Q₃ = 9 - Calcule a AIQ dos dados do exercício 3.
Ver resposta
9 − 3 = 6 - Calcule a AIQ de 9, 4, 7, 1, 12, 6, 10.
Ver resposta
Em ordem: 1, 4, 6, 7, 9, 10, 12. Q₁ = 4, Q₃ = 10: AIQ = 6 - Ache os quartis e a AIQ de 14, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 30.
Ver resposta
Mediana 20 (6º valor); Q₁ = 15, Q₃ = 24: AIQ = 9 - Calcule a AIQ de 5, 8, 9, 12, 14, 20.
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Metade inferior 5, 8, 9 dá Q₁ = 8; metade superior 12, 14, 20 dá Q₃ = 14: AIQ = 6 - Ache a mediana e a AIQ de 21, 23, 24, 26, 27, 29, 31, 32, 35, 40.
Ver resposta
Mediana (27 + 29)/2 = 28; Q₁ = 24, Q₃ = 32: AIQ = 8 - Um boxplot mostra mínimo 4, Q₁ 10, mediana 15, Q₃ 22 e máximo 30. Calcule a AIQ e a amplitude total.
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AIQ = 22 − 10 = 12; amplitude = 30 − 4 = 26 - No boxplot do exercício 9, que porcentagem dos dados está acima de 10?
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10 é Q₁, então 75% dos dados estão acima. - Q₁ = 20 e Q₃ = 30. Pela regra de 1,5 · AIQ, 50 é um outlier?
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AIQ = 10, limite superior 30 + 1,5 · 10 = 45. Como 50 > 45, sim. - 19 é um outlier em 3, 4, 4, 5, 6, 7, 19?
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Q₁ = 4, Q₃ = 7, AIQ = 3; limite superior 7 + 4,5 = 11,5. Sim, 19 > 11,5. - Calcule a AIQ de 2, 3, 5, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 13, 15, 17, 18, 21.
Ver resposta
n = 15, mediana = 8º valor = 10; Q₁ = 4º valor = 5, Q₃ = 12º valor = 15: AIQ = 10 - Q₁ = 7 e a AIQ é 9. Ache Q₃.
Ver resposta
7 + 9 = 16 - Calcule a AIQ de 5, 5, 5, 5, 5, 5, 9. O que isso significa?
Ver resposta
Q₁ = 5 e Q₃ = 5, então AIQ = 0: a metade central dos dados tem o mesmo valor.
Problemas
Quartis no dia a dia
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Na turma A, Q₁ = 52 e Q₃ = 70 pontos; na turma B, Q₁ = 58 e Q₃ = 64. Qual turma tem resultados mais homogêneos?
Ver resposta
AIQ de A = 18, AIQ de B = 6: a turma B (sua metade central está mais concentrada). - As temperaturas ao meio-dia numa semana foram 14, 16, 15, 18, 21, 17 e 19 °C. Calcule a AIQ.
Ver resposta
Em ordem: 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21. Q₁ = 15, Q₃ = 19: AIQ = 4 °C - Durante 11 dias, o ônibus de Ana até a escola levou 22, 25, 24, 30, 23, 26, 45, 24, 27, 25 e 28 minutos. Calcule a AIQ. 45 minutos é um outlier?
Ver resposta
Em ordem: 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 30, 45. Q₁ = 24, Q₃ = 28, AIQ = 4 minutos. Limite superior 28 + 6 = 34, então 45 é um outlier (talvez um engarrafamento). - Um livro custa R$ 8, R$ 9, R$ 9, R$ 10, R$ 11, R$ 12 e R$ 15 em sete lojas. Calcule a AIQ.
Ver resposta
Q₁ = R$ 9, Q₃ = R$ 12: AIQ = R$ 3 - Um boxplot da altura de 80 girassóis tem Q₁ = 1,2 m e Q₃ = 1,9 m. Calcule a AIQ. Quantos girassóis medem entre 1,2 m e 1,9 m?
Ver resposta
AIQ = 1,9 − 1,2 = 0,7 m; metade de 80: cerca de 40 girassóis.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da amplitude interquartil?
AIQ = Q₃ − Q₁, o terceiro quartil menos o primeiro. Primeiro calcule os quartis, depois subtraia.
O que a amplitude interquartil mede?
O quanto os 50% centrais dos dados estão espalhados. Se duas turmas têm a mesma mediana mas AIQs diferentes, a de AIQ menor tem notas mais parecidas entre si.
Como ver a amplitude interquartil num boxplot?
É o comprimento da caixa: leia o valor da borda direita (Q₃) e da borda esquerda (Q₁) e subtraia. O traço dentro da caixa é a mediana, e as hastes vão até o mínimo e o máximo.
Como calcular quartis de dados agrupados?
Monte a tabela de frequência acumulada, encontre a classe que contém a posição n/4 (para Q₁) ou 3n/4 (para Q₃) e use a interpolação dentro dela, como na mediana. Num gráfico de frequência acumulada (ogiva), basta ler os valores nessas alturas.
Como calcular a amplitude interquartil no Excel?
Se os dados estão em A1:A11, digite =QUARTIL.EXC(A1:A11;3)-QUARTIL.EXC(A1:A11;1). O Excel também tem QUARTIL.INC, que usa outra regra: para as 11 notas acima ele dá 26 e 37 em vez de 25 e 38. Nenhum está errado; são convenções diferentes.
Qual é a diferença entre quartis, decis e percentis?
Todos dividem os dados ordenados em partes iguais: os quartis em 4, os decis em 10 e os percentis em 100. Q₁ é o percentil 25, a mediana é o percentil 50 e Q₃ é o percentil 75.
Quiz rápido
Quartis e amplitude interquartil
Veja o que você sabe com 5 perguntas rápidas.
Pergunta 1 de 5
O primeiro quartil é 15 e o terceiro é 27. Qual é a amplitude interquartil?
Pratique
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