O que dizem a lei dos senos e a lei dos cossenos, e quando usar cada uma?

As razões seno, cosseno e tangente (SOH-CAH-TOA) e o teorema de Pitágoras só funcionam em triângulos retângulos (veja trigonometria). Mas os triângulos da vida real, como o caminho de dois navios, a estrutura de um telhado ou um terreno com três cercas, quase nunca têm um ângulo reto. É para eles que existem a lei dos senos e a lei dos cossenos.

Primeiro, a notação. Chame os ângulos de A, B e C, e chame o lado oposto a cada ângulo pela mesma letra minúscula: o lado a fica de frente para o ângulo A, o lado b para B e o lado c para C. Todas as fórmulas desta página dependem desse par.

A lei dos senos diz que, em todo triângulo, cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá o mesmo número:

a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C

Para achar um ângulo, é mais fácil inverter: sen A ÷ a = sen B ÷ b = sen C ÷ c. Usamos só duas das três partes por vez, e é preciso um par completo (um lado e o ângulo oposto) para começar.

A lei dos cossenos é o teorema de Pitágoras com uma correção para ângulos que não medem 90°:

a² = b² + c² − 2bc · cos A

Isolando o cosseno para achar um ângulo:

cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)

Se A = 90°, cos A = 0 e voltamos a a² = b² + c², o teorema de Pitágoras. Se A é obtuso, cos A é negativo e a fica maior do que Pitágoras daria, o que faz sentido: um ângulo mais aberto afasta o lado oposto. É por isso que, na física, ao somar duas forças, a fórmula da resultante aparece com "+ 2ab·cos θ": ali θ é o ângulo entre os vetores, que é o suplementar do ângulo do triângulo.

Qual usar?

• Dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo que não está entre eles (um par completo e mais um dado) → lei dos senos.
• Dois lados e o ângulo entre eles → lei dos cossenos para o terceiro lado.
• Os três lados → lei dos cossenos para um ângulo.

Uma fórmula parecida dá a área sem a altura: Área = ½ · a · b · sen C, com dois lados e o ângulo entre eles.

O caso ambíguo. Se você conhece dois lados e um ângulo que não está entre eles, pode haver dois triângulos. Com a = 6, b = 8 e A = 40°, sen B = 8 · sen 40° ÷ 6 ≈ 0,857, então B ≈ 59,0° ou B ≈ 121,0°. Os dois servem, porque 40° + 121,0° ainda é menos de 180°.

Quando usar a lei dos senos e quando usar a lei dos cossenos?#

Se você tem um par completo (um lado e o ângulo oposto a ele), use a lei dos senos. Se tem dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados, use a lei dos cossenos.

O que diz a lei dos senos?#

Que os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos: a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C. Esse valor comum é igual a 2R, o dobro do raio da circunferência circunscrita.

O que diz a lei dos cossenos?#

Que o quadrado de um lado é a soma dos quadrados dos outros dois menos duas vezes o produto deles pelo cosseno do ângulo entre eles: a² = b² + c² − 2bc · cos A.

Como decorar a lei dos cossenos?#

Pense em "Pitágoras menos uma correção". O lado sozinho à esquerda é o oposto ao ângulo que aparece no cosseno; os outros dois lados aparecem no resto da fórmula.

O que é o caso ambíguo na lei dos senos?#

Quando se conhecem dois lados e um ângulo que não está entre eles, pode haver dois triângulos diferentes, porque sen θ = sen(180° − θ). Sempre verifique se a resposta obtusa também serve.

Como demonstrar a lei dos senos?#

Trace a altura h a partir de C até o lado c. Nos dois triângulos retângulos formados, h = b · sen A e h = a · sen B. Igualando, b · sen A = a · sen B, que é o mesmo que a ÷ sen A = b ÷ sen B.