O que é integral em matemática e como integrar uma função?

Derivar leva de uma função à sua taxa de variação, como passar da distância para a velocidade. Integrar faz o caminho de volta: parte da taxa de variação e recupera a quantidade original, como passar da velocidade para a distância. O resultado se chama integral ou primitiva (também antiderivada).

Como a derivada de x³ é 3x², uma primitiva de 3x² é x³. Mas x³ + 5 e x³ − 2 também têm derivada 3x², porque as constantes somem. Por isso escrevemos

∫3x² dx = x³ + C

O S alongado, ∫, significa "integral de"; dx indica que a variável é x; e C é a constante de integração, que pode ser qualquer número. Isso é uma integral indefinida: uma família de funções com a mesma derivada.

A regra da potência para integrais desfaz a das derivadas:

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, para qualquer n diferente de −1

Ou seja: some 1 ao expoente e divida pelo novo expoente. x² vira x³/3, x⁴ vira x⁵/5. Um número multiplicando fica (∫5x² dx = 5x³/3 + C) e somas se integram termo a termo. Uma constante sozinha ganha um x: ∫7 dx = 7x + C. Para n = −1 seria preciso dividir por 0, então há um resultado à parte: ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

A segunda grande ideia é a área. Corte a região sob a curva em faixas retangulares bem finas e some as áreas. Quanto mais finas as faixas, mais a soma se aproxima da área exata, que é a integral definida de a até b:

∫ de a até b de f(x) dx = F(b) − F(a), onde F é uma primitiva de f.

Essa ligação entre áreas e primitivas é o Teorema Fundamental do Cálculo. Na subtração a constante C se cancela, então a integral definida dá um número, não uma fórmula. Confira com algo conhecido: a área sob y = 2x de x = 0 até x = 3 é um triângulo de base 3 e altura 6, com área 9. Integrando: ∫2x dx = x², e 3² − 0² = 9. ✓

Integrais aparecem sempre que uma taxa se acumula no tempo ou no espaço: a distância a partir da velocidade, a água numa caixa-d'água a partir da vazão, o trabalho de uma força, o volume de um sólido.

Confira sempre derivando a resposta: você deve voltar à função do começo.

O que é integral em matemática?#

É a operação inversa da derivada e, ao mesmo tempo, uma forma de somar infinitas partes muito pequenas. A integral definida dá a área sob uma curva. (A palavra "integração" também aparece em ônibus e metrô, em empresas e na integração sensorial, mas aqui o assunto é cálculo.)

O que é integração por partes?#

É uma regra para integrar alguns produtos: ∫u dv = u·v − ∫v du. Para ∫x·eˣ dx, tome u = x e dv = eˣ dx: o resultado é x·eˣ − eˣ + C. É a regra do produto das derivadas ao contrário.

O que é integração por substituição?#

Você troca uma parte da expressão por uma letra nova para simplificar. Em ∫2x(x² + 1)³ dx, com u = x² + 1 vem du = 2x dx, e a integral fica ∫u³ du = u⁴/4 + C = (x² + 1)⁴/4 + C.

Quais são as integrais imediatas mais usadas?#

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫k dx = kx + C; ∫(1/x) dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫cos x dx = sen x + C; ∫sen x dx = −cos x + C.

Qual é a integral de uma constante?#

∫k dx = kx + C. Por exemplo, ∫5 dx = 5x + C. No gráfico, a área sob a reta horizontal y = 5 de 0 até x é um retângulo de área 5x.

Qual é a diferença entre integral definida e indefinida?#

A indefinida é uma família de funções (tem + C); a definida, com limites a e b, é um número, F(b) − F(a), que mede a área com sinal sob a curva.