O que é a derivada de uma função e como derivar?

Uma reta tem a mesma inclinação em todo lugar (o coeficiente angular). Uma curva não: y = x² é plana embaixo e vai ficando cada vez mais íngreme. A derivada é uma fórmula que dá essa inclinação em cada ponto.

A derivada de uma função f é escrita f′(x) ("f linha de x") ou, na notação de Leibniz, dy/dx. Em cada ponto, ela é igual ao coeficiente angular da reta tangente, a reta que toca a curva bem naquele ponto.

De onde ela vem? Pegue dois pontos da curva, x e x + h, e calcule a inclinação da reta que passa por eles: (f(x + h) − f(x)) / h. Essa é a taxa de variação média. Agora faça h ficar cada vez menor: a reta vira a tangente. Para y = x², a inclinação é ((x + h)² − x²) / h = (2xh + h²) / h = 2x + h, e quando h tende a 0 sobra 2x. Essa é a definição de derivada pelo limite.

Ninguém calcula esse limite toda vez, porque aparece um padrão. É a regra da potência:

Se f(x) = xⁿ, então f′(x) = n·xⁿ⁻¹

Ou seja: multiplique pelo expoente e diminua 1 do expoente. x³ vira 3x², x⁵ vira 5x⁴. Com mais três regras você deriva qualquer polinômio:

• Um número multiplicando fica: 4x³ vira 4 · 3x² = 12x².
• Uma constante sozinha some: 7 vira 0, porque uma reta horizontal tem inclinação 0.
• Somas se derivam termo a termo: x² + 5x − 3 vira 2x + 5.

A regra da potência vale para qualquer expoente, inclusive negativos e fracionários. Para usá-la, escreva antes raízes e frações como potências: √x = x^(1/2) e 1/x = x⁻¹.

Para que serve? Uma derivada é uma taxa de variação, como a velocidade de um carro (a rapidez com que a distância muda com o tempo) ou o ritmo de crescimento de uma população. Igualar a derivada a 0 dá os pontos críticos de uma curva, entre eles seus máximos e mínimos: é assim que se procura o projeto mais resistente, mais barato ou mais lucrativo. O caminho inverso, da derivada de volta à função original, é a integral.

Para saber se é máximo ou mínimo, derive de novo: é a derivada segunda, f″(x). Se ela for positiva no ponto crítico, é um mínimo; se for negativa, um máximo.

O que é a derivada de uma função?#

É uma nova função que dá, em cada ponto, a taxa de variação instantânea da original: o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico. Derivar é calcular essa função.

Quais são as regras de derivação?#

Potência: xⁿ vira n·xⁿ⁻¹. Constante: 0. Soma: termo a termo. Produto: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Quociente: (u/v)′ = (u′·v − u·v′)/v². Cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x).

Como fazer derivação implícita?#

Derive os dois lados da equação em relação a x, tratando y como função de x e usando a regra da cadeia em cada termo com y. Em x² + y² = 25: 2x + 2y·y′ = 0, então y′ = −x/y. No ponto (3, 4), a inclinação é −3/4.

Qual é a derivada de eˣ, ln x e sen x?#

eˣ é a própria derivada, aˣ vira aˣ·ln a e ln x vira 1/x. sen x vira cos x e cos x vira −sen x (com x em radianos).

Derivação em matemática é o mesmo que derivação em português?#

Não. Em gramática, derivação é formar palavras novas com prefixos ou sufixos: derivação prefixal (refazer), sufixal (felizmente), parassintética (entardecer). Em matemática, derivar uma função é calcular a derivada, o assunto desta página.

Qual é a diferença entre derivada e integral?#

São operações inversas. A derivada vai de uma grandeza à sua taxa de variação (da distância à velocidade); a integral volta da taxa de variação à grandeza (da velocidade à distância) e calcula áreas sob curvas.