O que é função na matemática?

Pense numa máquina de função. Você coloca um número, a máquina segue a regra dela e sai um número. Se a regra é "multiplique por 2 e some 3", colocar 4 dá 11 e colocar 10 dá 23. Coloque 4 de novo amanhã e sai 11 outra vez. Essa confiança é o que faz dela uma função.

Na matemática, a regra é chamada de lei de formação e se escreve assim: f(x) = 2x + 3. Lê-se "f de x é igual a 2x mais 3". O x é a variável independente (a entrada) e f(x), muitas vezes chamado de y, é a variável dependente (a saída). Assim, f(4) = 2 · 4 + 3 = 11: dizemos que 11 é a imagem de 4. Atenção: f(x) não quer dizer f vezes x.

A regra principal: cada valor de x tem um único valor de y. Duas entradas diferentes podem ter a mesma saída (f(x) = x² dá 9 para 3 e para −3), mas uma entrada nunca pode ter duas saídas. Pense numa máquina de lanches: cada botão entrega um produto. Se o botão B4 às vezes desse salgadinho e às vezes chocolate, ela estaria com defeito, e a "função" também.

Uma função pode ser mostrada de quatro jeitos:

• Lei de formação: f(x) = 2x + 3
• Tabela: os valores de x numa linha e os de y na outra
• Pares ordenados: (0, 3), (1, 5), (2, 7)
• Gráfico: cada par vira um ponto no plano cartesiano, usando as coordenadas, com x no eixo horizontal e y no vertical

No gráfico, use o teste da reta vertical: se alguma reta vertical cortar o gráfico em mais de um ponto, não é função. Uma circunferência não passa no teste; uma reta que não seja vertical passa.

Três palavras aparecem sempre. O domínio é o conjunto dos valores de x que podem entrar. O contradomínio é o conjunto onde as saídas podem estar (em geral, os números reais). A imagem é o conjunto das saídas que realmente aparecem. Em f(x) = 1/x, o domínio é todo número real menos o 0 (não dá para dividir por 0). Em f(x) = x², a imagem é y ≥ 0, porque um quadrado nunca é negativo.

A primeira família estudada é a função afim, f(x) = ax + b, cujo gráfico é uma reta. O número a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear (onde a reta corta o eixo y). Depois vêm a função quadrática (do 2º grau, com x²), a exponencial (2ˣ), a logarítmica e as trigonométricas (sen x). As sequências também são funções: o termo geral transforma a posição n em um termo.

Para saber se uma relação é função, olhe as entradas: se alguma aparece duas vezes com saídas diferentes, não é função.

O que é função na matemática, de um jeito simples?#

É uma regra que pega um número de entrada e devolve exatamente um número de saída. "Some 5" é uma função: o 2 vira 7, o 10 vira 15, e a mesma entrada sempre dá a mesma saída.

Como resolver uma função?#

Em geral pedem uma de duas coisas. Calcular um valor: troque x pelo número, por exemplo f(3) em f(x) = 2x + 1 dá 7. Ou achar o x de uma certa saída: iguale e resolva a equação, 2x + 1 = 9 dá x = 4.

Como saber se um gráfico é de uma função?#

Use o teste da reta vertical: se alguma reta vertical cortar o gráfico mais de uma vez, não é função. Numa tabela, confira se nenhum valor de x aparece com dois valores de y diferentes.

O que são domínio, contradomínio e imagem?#

Domínio são as entradas permitidas; contradomínio é o conjunto onde as saídas podem estar; imagem são as saídas que realmente aparecem. Em f(x) = x², com domínio e contradomínio nos reais, a imagem é y ≥ 0.

Qual a diferença entre função afim e função linear?#

Função linear é f(x) = ax, e a reta passa pela origem. Função afim é f(x) = ax + b, e a reta corta o eixo y em b. Toda função linear é afim (com b = 0), mas nem toda afim é linear.

O que são funções trigonométricas?#

São funções como seno, cosseno e tangente, que associam um número a cada ângulo. Os gráficos são ondas que se repetem, por isso descrevem coisas periódicas, como o som e as marés.

O que é função inversa?#

É a função que desfaz a original. Se f(x) = 3x − 6 leva o 4 até o 6, a inversa f⁻¹(x) = (x + 6)/3 leva o 6 de volta ao 4.