O que é função composta e como calcular f(g(x))?

Imagine duas máquinas de funções em fila numa esteira. A primeira, g, multiplica por 2. A segunda, f, soma 3. Você coloca um 4: a g transforma em 8, e a f transforma o 8 em 11. A esteira inteira é uma função nova, a função composta, que leva o 4 ao 11.

Essa cadeia se escreve f(g(x)), lida "f de g de x". No Brasil é muito comum escrever fog(x) ou (f ∘ g)(x), lido "f composta com g" ou "f bola g". Tudo isso quer dizer a mesma coisa: primeiro a g, depois a f. A função mais perto do x age primeiro, como o parêntese de dentro numa expressão.

Há dois tipos de exercício.

1. Com um número. Trabalhe de dentro para fora. Se f(x) = 2x + 1 e g(x) = x², então f(g(3)) quer dizer g(3) = 9 primeiro e depois f(9) = 19.

2. Com uma expressão. Coloque a g(x) inteira no lugar de cada x da f, entre parênteses. fog(x) = f(x²) = 2x² + 1. Conferindo com 3: 2 · 9 + 1 = 19, como antes.

A ordem importa. gof(x) quer dizer a f primeiro: g(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1, e gof(3) = 7² = 49, não 19. Em geral, fog e gof são funções diferentes: a composição não é comutativa.

Cuidado com o domínio. O que sai da função de dentro precisa poder entrar na de fora. Com f(x) = √x e g(x) = x − 3, f(g(x)) = √(x − 3) só existe para x ≥ 3, porque não há raiz quadrada real de número negativo.

As compostas também podem ser lidas ao contrário. Perceber que h(x) = (3x + 1)⁵ é "primeiro 3x + 1, depois elevar à quinta" se chama decompor a função, e é a chave da regra da cadeia no cálculo de derivadas. Uma função e sua inversa formam um par especial: f(f⁻¹(x)) = x, porque a segunda máquina desfaz a primeira.

Para decompor uma função, pergunte "o que acontece primeiro com o x?". Em h(x) = √(x² + 9), primeiro eleva-se ao quadrado e soma-se 9, então g(x) = x² + 9, e depois tira-se a raiz, então f(x) = √x.

O que são funções compostas?#

São funções formadas aplicando uma função e depois outra. O resultado da primeira entra direto na segunda.

Qual é a diferença entre fog e gof?#

Em fog(x) = f(g(x)) a g age primeiro; em gof(x) = g(f(x)) a f age primeiro. Com f(x) = x + 1 e g(x) = x², fog(x) = x² + 1, mas gof(x) = (x + 1)² = x² + 2x + 1.

Como resolver funções compostas?#

Calcule primeiro a função de dentro e depois aplique a de fora ao resultado. Se pedirem a lei da composta, substitua g(x) entre parênteses em cada x da f e simplifique.

Como fica uma composta com seno e cosseno?#

Do mesmo jeito. Com f(x) = sen x e g(x) = 2x, f(g(x)) = sen(2x), mas g(f(x)) = 2 sen x. Para x = 90°, sen(180°) = 0, enquanto 2 sen 90° = 2.

Como achar o domínio de uma função composta?#

Comece pelo domínio da função de dentro, g, e tire os valores de x cuja imagem g(x) não pode entrar na f. Com f(x) = 1/x e g(x) = x − 2, é preciso tirar x = 2, porque g(2) = 0.

Como derivar funções compostas?#

Com a regra da cadeia: a derivada de f(g(x)) é f′(g(x)) · g′(x). Para (3x + 1)⁵, fica 5(3x + 1)⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴.

Qual é a relação entre funções compostas e inversas?#

Compor uma função com a inversa desfaz tudo: f(f⁻¹(x)) = x. E a inversa de uma composta inverte a ordem: (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹, como tirar o tênis antes da meia.