O que é uma inequação e como resolver?

Uma equação diz que duas coisas são iguais. Uma inequação diz que não são, e qual é a maior. Você encontra inequações todo dia: "altura mínima de 1,20 m para o brinquedo", "velocidade máxima de 60 km/h", "crianças até 5 anos não pagam".

Os quatro símbolos principais:

Dica: a "boca" aberta do símbolo sempre fica virada para o número maior, e o tracinho embaixo de ≤ e ≥ quer dizer "ou igual".

Sem letras, como 3 < 7, temos uma **desigualdade**. Com uma incógnita, como x + 2 > 5, é uma inequação. A equação x + 2 = 5 tem uma solução, x = 3. A inequação x + 2 > 5 tem infinitas: 3,1; 4; 10; um milhão… Por isso a resposta também é uma desigualdade, x > 3, escrita no Brasil como S = {x ∈ ℝ / x > 3} ou como intervalo ]3, +∞[.

As soluções aparecem na reta numérica:

• Bolinha aberta (vazia) para < e >: o número não faz parte da solução.
• Bolinha fechada (cheia) para ≤ e ≥: o número faz parte da solução.
• Depois, pinte a parte da reta onde estão as soluções.

Resolver uma inequação do 1º grau é quase igual a resolver uma equação: você pode somar, subtrair, multiplicar ou dividir os dois lados pelo mesmo número. Existe uma regra a mais: quando você multiplica ou divide os dois lados por um número negativo, inverte o sinal da desigualdade. Por quê? 2 < 5 é verdade, mas multiplicando por −1 fica −2 e −5, e na reta o −2 está à *direita* do −5, então −2 > −5. A ordem se inverte, e o sinal também. Por isso os números negativos pedem cuidado aqui.

Uma inequação dupla (ou simultânea) como −2 < x ≤ 4 quer dizer que x está entre −2 e 4: maior que −2 e no máximo 4. É o intervalo ]−2, 4].

Numa inequação dupla como −3 < 2x + 1 ≤ 9, faça a mesma coisa nas três partes ao mesmo tempo: subtraia 1 (−4 < 2x ≤ 8) e divida por 2 (−2 < x ≤ 4).

O que é inequação do 1º grau?#

É uma inequação em que o x aparece com expoente 1, como 2x − 3 > 9 ou 5 − x ≤ 2. Ela pode ser escrita como ax + b > 0 (ou com <, ≤, ≥), com a ≠ 0, e a solução é sempre uma semirreta: x maior ou menor que um certo número.

Como resolver inequações do 1º grau?#

Como uma equação: tire os parênteses, junte os termos com x de um lado e isole o x. A única diferença: se multiplicar ou dividir por um número negativo, inverta o sinal. No fim, escreva o conjunto solução.

Por que o sinal inverte quando divide por negativo?#

Porque multiplicar ou dividir por um negativo inverte a ordem dos números na reta. 2 < 5, mas −2 > −5. Inverter o sinal mantém a sentença verdadeira.

Como resolver inequações com duas desigualdades?#

Numa inequação dupla como 1 ≤ x + 3 < 6, faça a mesma operação nas três partes: subtraia 3 e obtenha −2 ≤ x < 3. Se o x aparece dos dois lados, separe em duas inequações, resolva cada uma e pegue a interseção.

Como resolver inequações do 2º grau?#

Ache as raízes da equação e estude o sinal da parábola. Para x² − 5x + 6 < 0, as raízes são 2 e 3; como a = 1 > 0, a parábola fica abaixo do eixo x entre as raízes, então S = {x ∈ ℝ / 2 < x < 3}.

O que são inequações produto e quociente?#

São inequações como (x − 1)(x + 2) > 0 ou (x − 1)/(x + 2) > 0. Estude o sinal de cada fator num quadro de sinais. Nos dois exemplos, o resultado é positivo quando os fatores têm o mesmo sinal: x < −2 ou x > 1 (no quociente, x = −2 nunca é permitido).

Como resolver inequações modulares?#

|x| < 3 quer dizer que x está a menos de 3 do zero: −3 < x < 3. |x| > 3 quer dizer x < −3 ou x > 3. Para |x − 1| < 3, resolva −3 < x − 1 < 3 e obtenha −2 < x < 4.