O que é o método de completar quadrados e como fazer passo a passo?

Um trinômio quadrado perfeito é o desenvolvimento de um produto notável, como (x + 3)² = x² + 6x + 9. Repare no padrão: o número do parêntese (3) é a metade do coeficiente de x (6), e o termo independente (9) é essa metade ao quadrado. Em geral:

(x + d)² = x² + 2dx + d²

A maioria das expressões do 2º grau não é um quadrado perfeito. x² + 6x + 5 é "quase" (x + 3)², mas termina em 5 em vez de 9. Completar quadrados resolve isso: você escreve o quadrado perfeito e corrige o termo independente.

x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4

A regra para qualquer x² + bx + c é:

x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c

Por que "completar quadrados"? Pense em x² como um quadrado de lado x, e em 6x como dois retângulos de 3 por x encostados em dois lados. A figura é quase um quadrado grande de lado x + 3: falta só um canto de 3 × 3. Somando esses 9 quadradinhos, você completa o quadrado. É assim, geometricamente, que al-Khwarizmi resolvia equações do 2º grau há mais de mil anos.

Quando a expressão está na forma a(x + p)² + q (a forma canônica), três coisas ficam fáceis:

• Resolver a equação. Passe q para o outro lado, divida por a e tire a raiz quadrada. Funciona para qualquer equação do 2º grau, mesmo as que não se fatoram. Aliás, é completando quadrados em ax² + bx + c = 0 que se deduz a fórmula de Bhaskara.
• O vértice da parábola. O gráfico de y = a(x + p)² + q tem vértice em (−p, q). É o mesmo que calcular xᵥ = −b/2a e yᵥ = −Δ/4a.
• O valor máximo ou mínimo. Um quadrado nunca é negativo, então (x + p)² + q nunca é menor que q. Se a for negativo, a parábola tem concavidade para baixo e q é o valor máximo.

Se x² tiver um coeficiente (a ≠ 1), coloque a em evidência nos termos com x² e com x: 2x² + 12x + 7 = 2(x² + 6x) + 7. Complete o quadrado dentro do parêntese e multiplique de volta.

Conferência rápida: desenvolva o resultado. Se voltar à expressão original, está certo.

Qual é a fórmula de completar quadrados?#

Para x² + bx + c: x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c. Para ax² + bx + c fica a(x + b/2a)² + c − b²/4a, mas não precisa decorar: basta colocar a em evidência primeiro.

Como completar quadrados numa equação do 2º grau?#

Passe o termo independente para o outro lado, some (b/2)² aos dois membros e escreva o lado esquerdo como quadrado. Em x² + 6x − 7 = 0: x² + 6x = 7, x² + 6x + 9 = 16, (x + 3)² = 16, x + 3 = ±4, então x = 1 ou x = −7.

Como completar quadrados na equação da circunferência?#

Complete o quadrado em x e em y separadamente. Em x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0: (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 12 = 0, ou seja, (x − 2)² + (y + 3)² = 25. A circunferência tem centro (2, −3) e raio 5.

Como completar quadrados geometricamente?#

Desenhe um quadrado de lado x (área x²) e divida o termo bx em dois retângulos de b/2 por x, um de cada lado. Falta um quadradinho de lado b/2 no canto: somando (b/2)², a figura vira um quadrado de lado x + b/2.

Para que serve completar quadrados?#

Para resolver equações do 2º grau que não se fatoram, achar o vértice e o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática, deduzir a fórmula de Bhaskara e, na geometria analítica, achar o centro e o raio de uma circunferência.

É melhor completar quadrados ou usar Bhaskara?#

Para resolver, os dois sempre funcionam, e Bhaskara costuma ser mais rápida. Completar quadrados vale mais a pena quando você também precisa do vértice ou do máximo, ou quando a = 1 e b é par, porque as contas ficam pequenas.