O que é a fórmula de Bhaskara e como resolver uma equação do 2º grau?

Uma equação do 2º grau (ou equação quadrática) é qualquer equação que pode ser escrita como

ax² + bx + c = 0, com a diferente de 0.

O maior expoente de x é 2: por isso ela é "do segundo grau". Os números a, b e c são os coeficientes, e c também é chamado de termo independente. Em 3x² + 2x − 8 = 0, a = 3, b = 2 e c = −8. Diferente das equações do 1º grau, uma equação do 2º grau costuma ter duas soluções, chamadas raízes.

Por que duas? Pense numa bola jogada para cima. A altura dela segue uma curva chamada parábola. Se você pergunta "quando a bola está a 15 m de altura?", há duas respostas: uma na subida e outra na descida. No gráfico, as raízes de ax² + bx + c = 0 são os pontos em que a parábola y = ax² + bx + c corta o eixo x, e dá para vê-las com coordenadas.

Há três jeitos principais de resolver:

• Incompleta sem o termo em x (b = 0): isole x². x² = 49 dá x = 7 ou x = −7. Não esqueça a raiz negativa.
• Fatorando, quando a equação vira um produto: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. Um produto só é zero se um fator for zero, então x = 2 ou x = 3. Quando c = 0, basta colocar x em evidência: x² − 4x = x(x − 4).
• A fórmula de Bhaskara, que funciona para qualquer equação do 2º grau, mesmo as que não se fatoram. Primeiro calcule o delta (ou discriminante)

Δ = b² − 4ac, e depois x = (−b ± √Δ) / 2a

O ± quer dizer que você faz a conta duas vezes, uma com + e outra com −, para achar x' e x''. O sinal de Δ já diz o que esperar:

• Δ > 0: duas raízes reais diferentes (a parábola corta o eixo x duas vezes).
• Δ = 0: uma raiz real dupla (a parábola só encosta no eixo).
• Δ < 0: nenhuma raiz real, porque número negativo não tem raiz quadrada real (a parábola não toca o eixo).

Um atalho muito usado no Brasil é soma e produto: as raízes têm soma −b/a e produto c/a. Em x² − 5x + 6 = 0, procure dois números com soma 5 e produto 6: são 2 e 3.

Se os números forem pequenos, tente antes a fatoração ou a soma e produto: dois números que multiplicados deem c e somados deem b (para x² + 5x + 6, são 2 e 3). Se não achar rápido, vá de Bhaskara.

Qual é a fórmula de Bhaskara?#

É x = (−b ± √Δ) / 2a, com Δ = b² − 4ac. Ela dá as raízes de qualquer equação ax² + bx + c = 0.

Para que serve a fórmula de Bhaskara?#

Para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, principalmente quando ela não se fatora com facilidade, e para saber onde a parábola corta o eixo x. Aparece em problemas de área, de lançamento de objetos e de lucro máximo.

O que é o delta na fórmula de Bhaskara?#

Δ = b² − 4ac é o discriminante, o que fica dentro da raiz. Δ > 0 dá duas raízes reais, Δ = 0 dá uma raiz dupla e Δ < 0 indica que não há raiz real.

A fórmula de Bhaskara é mesmo de Bhaskara?#

Não. Bhaskara II foi um grande matemático indiano do século XII, mas povos muito mais antigos já resolviam esse tipo de equação: os babilônios, há uns 4000 anos, e depois Brahmagupta (século VII) e al-Khwarizmi (século IX). A forma com letras surgiu bem depois, com a álgebra simbólica dos séculos XVI e XVII.

Como a fórmula de Bhaskara é chamada fora do Brasil?#

O nome "Bhaskara" é usado praticamente só no Brasil. Em Portugal se diz "fórmula resolvente"; em inglês, quadratic formula; em espanhol, "fórmula general".

Como a fórmula de Bhaskara foi deduzida?#

Completando quadrados. Divida ax² + bx + c = 0 por a: x² + (b/a)x = −c/a. Some (b/2a)² dos dois lados: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a² = Δ/4a². Tirando a raiz: x + b/2a = ±√Δ/2a, e daí x = (−b ± √Δ) / 2a.

Como usar a fórmula de Bhaskara passo a passo?#

Iguale a zero, identifique a, b e c com os sinais, calcule Δ, aplique x = (−b ± √Δ) / 2a uma vez com + e outra com −, e confira substituindo na equação.