Como usar a fórmula de Bhaskara e o que o delta indica?

Toda equação do 2º grau pode ser escrita como ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. A fórmula de Bhaskara resolve todas elas em dois passos:

Δ = b² − 4ac e x = (−b ± √Δ) / 2a

Por extenso: “x é igual a menos b, mais ou menos a raiz quadrada de delta, tudo dividido por dois a”. O sinal ± quer dizer que você faz a conta duas vezes, uma com + e outra com −, e encontra as duas raízes, chamadas x' e x'' (ou x₁ e x₂). A página sobre a equação do 2º grau compara Bhaskara com outros métodos; aqui a gente desmonta a fórmula.

O que o delta diz. Δ é a letra grega delta maiúscula, e o número b² − 4ac se chama discriminante, porque ele “separa” os casos:

• Δ > 0: duas raízes reais diferentes. A parábola corta o eixo x em dois pontos. Se Δ for um quadrado perfeito (1, 4, 9, 16…) e a, b, c forem inteiros, as raízes são inteiras ou frações; se não, aparecem raízes quadradas, como 2 ± √3.
• Δ = 0: duas raízes reais iguais (uma raiz dupla), x' = x'' = −b/2a. A parábola só encosta no eixo x, no vértice.
• Δ < 0: nenhuma raiz real, porque número negativo não tem raiz quadrada real. A parábola não toca o eixo x. (Mais tarde, com os números complexos, essas equações ganham soluções.)

As duas metades da fórmula. Separando a fração:

x = −b/2a ± √Δ/2a

A primeira parte, −b/2a, é o xᵥ, a abscissa do vértice da parábola: o meio da curva. A segunda parte é a distância de cada raiz até esse meio, uma para a direita e outra para a esquerda. Por isso as raízes são simétricas em relação ao vértice.

De onde vem a fórmula. Ela sai de completar quadrados em ax² + bx + c = 0: divida por a, passe c/a para o outro lado e some (b/2a)² dos dois lados. Fica (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Tirando a raiz com ± e subtraindo b/2a, chega-se à fórmula. Ou seja: Bhaskara é completar quadrados feito uma vez só, para todas as equações.

Soma e produto. Para quaisquer raízes x' e x'': S = x' + x'' = −b/a e P = x' · x'' = c/a. Serve para conferir a resposta e, em equações simples, até para achar as raízes de cabeça.

Equações incompletas. Se b = 0 ou c = 0, Bhaskara funciona, mas há caminhos mais rápidos. Com c = 0, coloque x em evidência: x² − 4x = 0 vira x(x − 4) = 0, logo x = 0 ou x = 4. Com b = 0, isole x²: x² − 9 = 0 dá x² = 9, logo x = 3 ou x = −3.

O que é o delta na fórmula de Bhaskara?#

É o discriminante, Δ = b² − 4ac, o número que fica dentro da raiz. Calcule-o primeiro: positivo, duas raízes reais diferentes; zero, duas raízes iguais; negativo, nenhuma raiz real.

Para que serve a fórmula de Bhaskara?#

Para resolver qualquer equação do 2º grau, inclusive as que não dá para fatorar, e para achar onde a parábola de uma função quadrática corta o eixo x. Na física, ela calcula, por exemplo, quando um objeto lançado chega ao chão.

Como a fórmula de Bhaskara foi criada?#

O nome homenageia o matemático indiano Bhaskara II, do século XII, que trabalhou com equações do 2º grau. Mas povos como os babilônios já resolviam esses problemas muito antes, e a fórmula com letras, como a escrevemos hoje, só apareceu séculos depois, com a álgebra simbólica.

Como a fórmula de Bhaskara é chamada fora do Brasil?#

O nome “fórmula de Bhaskara” é usado sobretudo no Brasil. Em inglês ela se chama “quadratic formula”, na Espanha e no México “fórmula general”, na Itália “formula risolutiva” e na Alemanha “Mitternachtsformel”.

O que é delta na matemática, fora da Bhaskara?#

Na física e em outras partes da matemática, Δ costuma indicar uma variação: Δs é a variação de posição e Δt a variação de tempo. Na equação do 2º grau, porém, Δ é só o nome do discriminante b² − 4ac.

Como decorar a fórmula de Bhaskara?#

Fale em voz alta enquanto escreve: “menos b, mais ou menos raiz de delta, sobre dois a”. Escrever Δ = b² − 4ac e a fórmula no canto da folha antes de cada exercício também ajuda a gravar.