Matemática
O que é o vértice da parábola e como calcular?
Resposta rápida
O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola. Em f(x) = ax² + bx + c, ele fica em xᵥ = −b/2a e yᵥ = −Δ/4a, com Δ = b² − 4ac.
Numa frase
O vértice da parábola é o ponto onde ela faz a curva: o ponto mais baixo quando a concavidade é para cima (∪) e o mais alto quando a concavidade é para baixo (∩).
Explicação
O gráfico de toda função quadrática (ou função do 2º grau), f(x) = ax² + bx + c, é uma parábola: uma curva simétrica em forma de U. O vértice V é o ponto em que a curva para de descer e começa a subir, ou o contrário.
bola
ponte
montanha
A concavidade depende do sinal de a, o coeficiente de x²:
- a > 0: concavidade para cima (∪). O vértice é o ponto de mínimo e yᵥ é o valor mínimo da função.
- a < 0: concavidade para baixo (∩). O vértice é o ponto de máximo e yᵥ é o valor máximo.
A reta vertical que passa pelo vértice é o eixo de simetria da parábola.
As fórmulas do vértice. Para f(x) = ax² + bx + c, o vértice é V(xᵥ; yᵥ), com
xᵥ = −b/2a e yᵥ = −Δ/4a, em que Δ = b² − 4ac é o mesmo delta da fórmula de Bhaskara.
Você também pode achar yᵥ substituindo xᵥ na função: yᵥ = f(xᵥ). As duas contas dão o mesmo resultado.
De onde vem −b/2a? Procure os pontos em que f(x) = c. Então ax² + bx = 0, ou seja, x(ax + b) = 0, o que dá x = 0 ou x = −b/a. Esses dois pontos estão na mesma altura, então, por simetria, o vértice fica exatamente no meio: xᵥ = −b/2a.
O vértice aparece em qualquer uma das três formas da função:
- Forma geral f(x) = ax² + bx + c: use xᵥ = −b/2a e yᵥ = −Δ/4a (ou f(xᵥ)).
- Forma canônica f(x) = a(x − h)² + k: o vértice é V(h; k), direto. Cuidado com o sinal: y = (x + 4)² − 7 tem vértice (−4; −7). Para chegar a essa forma, você completa quadrados.
- Forma fatorada f(x) = a(x − x₁)(x − x₂): a parábola corta o eixo x nas raízes x₁ e x₂, e o vértice fica no meio: xᵥ = (x₁ + x₂)/2.
Para que serve? Sempre que algo segue uma parábola, o vértice responde: “qual é o máximo (ou o mínimo), e quando acontece?”. Uma bola lançada para cima com altura h(t) = 20t − 5t² metros chega ao vértice em t = −20/(2 · (−5)) = 2 segundos, quando h = 40 − 20 = 20 m: ela sobe 20 m em 2 segundos e depois cai. O vértice também fica bem no meio das duas raízes da equação do 2º grau, e é por isso que a fórmula de Bhaskara começa com −b/2a.
Exemplos
| Função | Forma | Cálculo | Vértice | Máx. ou mín. |
|---|---|---|---|---|
| y = x² − 6x + 5 | geral | xᵥ = 6/2 = 3; yᵥ = 9 − 18 + 5 = −4 | (3; −4) | mínimo |
| y = 2x² + 8x + 3 | geral | xᵥ = −8/4 = −2; yᵥ = 8 − 16 + 3 = −5 | (−2; −5) | mínimo |
| y = −x² + 4x + 1 | geral | xᵥ = −4/(−2) = 2; yᵥ = −4 + 8 + 1 = 5 | (2; 5) | máximo |
| y = 3(x − 1)² + 4 | canônica | h = 1, k = 4 | (1; 4) | mínimo |
| y = −(x + 2)² + 6 | canônica | h = −2, k = 6 | (−2; 6) | máximo |
| y = (x − 1)(x − 5) | fatorada | xᵥ = (1 + 5)/2 = 3; yᵥ = 2 · (−2) = −4 | (3; −4) | mínimo |
A primeira e a última linha são a mesma parábola: (x − 1)(x − 5) = x² − 6x + 5, e os dois métodos dão (3; −4).
Exemplo resolvido: ache o vértice de y = 2x² − 4x + 5. Aqui a = 2, b = −4 e c = 5. xᵥ = −(−4)/(2 · 2) = 4/4 = 1. Δ = (−4)² − 4 · 2 · 5 = 16 − 40 = −24, então yᵥ = −(−24)/(4 · 2) = 24/8 = 3. O vértice é V(1; 3) e, como a = 2 > 0, o valor mínimo da função é 3. Conferindo: f(1) = 2 − 4 + 5 = 3. ✓
Erros comuns
- Esquecer o sinal de menos em −b/2a. Em y = x² + 6x + 1, b = 6, então xᵥ = −6/2 = −3, não 3.
- Errar o sinal de −Δ/4a. Se Δ = −24, então −Δ = +24. Escreva os parênteses: −(−24).
- Errar o sinal na forma canônica. y = (x − 2)² + 5 tem vértice (2; 5); y = (x + 2)² + 5 tem vértice (−2; 5). Pergunte: que x zera o parêntese?
- Dividir por 2 e esquecer o a. −b/2a é −b dividido por (2 · a). Em y = 3x² − 12x, xᵥ = 12/6 = 2, e não 12/2 = 6.
- Achar que o vértice é sempre o ponto mais baixo. Se a < 0, ele é o ponto mais alto.
Passo a passo
Passo a passo
- Identifique a, b e cEscreva a função como f(x) = ax² + bx + c, com os sinais.
- Calcule xᵥXᵥ = −b/2a. (Na forma canônica, leia h; na forma fatorada, faça a média das raízes.)
- Calcule yᵥYᵥ = −Δ/4a, com Δ = b² − 4ac, ou substitua xᵥ na função.
- Máximo ou mínimo?A > 0: ponto de mínimo; a < 0: ponto de máximo.
- Confira pela simetriaDois valores de x à mesma distância de xᵥ devem dar o mesmo y.
O eixo de simetria é a reta x = xᵥ. Para marcar o vértice e esboçar a parábola, comece pelo vértice e monte uma tabela com valores de x dos dois lados.
Exercícios
Ache o vértice
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Ache o vértice de y = (x − 4)² + 1.
Ver resposta
(4; 1) - Ache o vértice de y = (x + 3)² − 5.
Ver resposta
O parêntese zera em x = −3: (−3; −5) - Ache o vértice de y = −2(x − 1)² + 8. É de máximo ou de mínimo?
Ver resposta
(1; 8), ponto de máximo (a = −2 é negativo) - Ache o vértice de y = x² + 4.
Ver resposta
b = 0, então xᵥ = 0 e yᵥ = 4: (0; 4) - Ache o vértice de y = x² − 4x + 7.
Ver resposta
xᵥ = 4/2 = 2; yᵥ = 4 − 8 + 7 = 3: (2; 3) - Ache o vértice de y = x² + 10x + 21.
Ver resposta
xᵥ = −10/2 = −5; yᵥ = 25 − 50 + 21 = −4: (−5; −4) - Ache o vértice de y = 2x² − 12x + 13.
Ver resposta
xᵥ = 12/4 = 3; yᵥ = 18 − 36 + 13 = −5: (3; −5) - Ache o vértice de y = −x² + 6x − 2.
Ver resposta
xᵥ = −6/(−2) = 3; yᵥ = −9 + 18 − 2 = 7: (3; 7), ponto de máximo - Ache o vértice de y = 3x² + 6x + 1.
Ver resposta
xᵥ = −6/6 = −1; yᵥ = 3 − 6 + 1 = −2: (−1; −2) - Ache o vértice de y = x² − 5x + 4.
Ver resposta
xᵥ = 5/2 = 2,5; yᵥ = 6,25 − 12,5 + 4 = −2,25: (2,5; −2,25) - Ache o vértice de y = (x − 2)(x − 8).
Ver resposta
xᵥ = (2 + 8)/2 = 5; yᵥ = 3 · (−3) = −9: (5; −9) - Ache o vértice de y = −(x + 1)(x − 5).
Ver resposta
xᵥ = (−1 + 5)/2 = 2; yᵥ = −(3)(−3) = 9: (2; 9), ponto de máximo - Escreva y = x² + 8x + 10 na forma canônica e dê o vértice.
Ver resposta
(x + 4)² − 16 + 10 = (x + 4)² − 6, vértice (−4; −6) - Uma parábola tem vértice (2; −3) e passa por (0; 1). Escreva a função na forma canônica.
Ver resposta
y = a(x − 2)² − 3; em (0; 1): 1 = 4a − 3, então a = 1: y = (x − 2)² − 3 - Qual é o valor máximo de f(x) = −4x² + 8x + 5?
Ver resposta
xᵥ = −8/(−8) = 1; f(1) = −4 + 8 + 5 = 9: o valor máximo é 9, em x = 1
Problemas
O vértice na vida real
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- A altura de uma bola é h(t) = 20t − 5t² metros após t segundos. Qual é a altura máxima e quando ela acontece?
Ver resposta
t = −20/(2 · (−5)) = 2; h(2) = 40 − 20 = 20: 20 m, após 2 segundos - Com 40 m de cerca, monta-se um retângulo de área A(x) = x(20 − x) m², sendo x a largura. Qual é a área máxima?
Ver resposta
A(x) = −x² + 20x; xᵥ = 10; A(10) = 100: 100 m² (um quadrado de 10 m de lado) - O jato de um chafariz segue h(t) = −5t² + 10t + 1 metros. Qual é o ponto mais alto?
Ver resposta
t = −10/(−10) = 1; h(1) = −5 + 10 + 1: 6 m, após 1 segundo - O arco de uma ponte tem a forma y = −0,02x² + 2x, em metros, sendo x a distância a um dos pés do arco. Qual é a altura do arco?
Ver resposta
xᵥ = −2/(−0,04) = 50; y = −0,02 · 2500 + 100 = 50: 50 m de altura, a 50 m do pé - Dois números somam 14. Qual é o maior produto possível?
Ver resposta
P(x) = x(14 − x) = −x² + 14x; xᵥ = 7: 49 (7 · 7) - O lucro diário de uma barraca de limonada é L(p) = −10p² + 60p − 40 reais, sendo p o preço do copo em reais. Que preço dá o maior lucro?
Ver resposta
p = −60/(−20) = 3; L(3) = −90 + 180 − 40 = 50: R$ 3 o copo, com lucro de R$ 50
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do vértice da parábola?
Para f(x) = ax² + bx + c: xᵥ = −b/2a e yᵥ = −Δ/4a, com Δ = b² − 4ac. O vértice é o ponto V(xᵥ; yᵥ).
O que é a abscissa do vértice?
É o xᵥ, a coordenada horizontal do vértice, dada por −b/2a. Ela diz onde acontece o máximo ou o mínimo; a ordenada yᵥ diz quanto ele vale.
O que representa o vértice da parábola?
Ele representa o valor máximo (se a < 0) ou o valor mínimo (se a > 0) da função quadrática. Em problemas, é a altura máxima, a área máxima, o lucro máximo ou o custo mínimo.
Como achar o vértice a partir das raízes?
O vértice fica no meio das raízes: xᵥ = (x₁ + x₂)/2. Depois, substitua esse valor na função para achar yᵥ.
Como achar o vértice no gráfico?
Procure o ponto em que a curva muda de direção. Se ele não estiver num ponto da malha, ache dois pontos da parábola na mesma altura: o vértice fica bem no meio deles.
Uma parábola pode ter mais de um vértice?
Não. Toda parábola tem exatamente um vértice e um eixo de simetria.
Quiz rápido
Vértice da parábola
Veja o que você sabe com 5 perguntas rápidas.
Pergunta 1 de 5
Qual é o vértice de y = (x − 3)² + 2?
Pratique
Experimenta
Pratique gráficos de funções quadráticas com exercícios ilimitados
Fichas de álgebra
Pratique passo a passo em um curso completo: Matemática · 1ª série do Ensino Médio
Para os adultos
Temas relacionados
Completar quadrados
Completar quadrados é escrever x² + bx + c como (x + b/2)² − (b/2)² + c. Serve para resolver equações do 2º grau, achar o vértice da parábola e deduzir a fórmula de Bhaskara.
Equação do 2º grau e a fórmula de Bhaskara
Uma equação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c = 0. Calcule Δ = b² − 4ac e use a fórmula de Bhaskara, x = (−b ± √Δ) / 2a. O sinal de Δ diz quantas raízes reais existem.
Fórmula de Bhaskara e o delta (Δ)
A fórmula de Bhaskara, x = (−b ± √Δ) / 2a com Δ = b² − 4ac, resolve qualquer equação ax² + bx + c = 0. O sinal do delta diz se há duas, uma ou nenhuma raiz real.
Funções (matemática)
Função é uma regra que associa a cada valor de entrada exatamente um valor de saída. Na função f(x) = 2x + 3, o número 4 vira 2 · 4 + 3 = 11.
Álgebra
Álgebra é a parte da matemática que usa letras, como x ou n, no lugar de números que ainda não conhecemos ou que podem mudar. Se n + 3 = 10, então n = 7.
Função composta
Função composta é aplicar uma função e depois outra. Em fog(x) = f(g(x)), primeiro a g age sobre x e depois a f age sobre o resultado.