Como achar as raízes de uma função e o ponto em que o gráfico corta o eixo y?

Desenhe um gráfico no plano cartesiano. Ao passar, a reta ou a curva costuma cortar os dois eixos. Esses pontos de interseção com os eixos são, muitas vezes, os primeiros que você marca para esboçar o gráfico.

Tudo se apoia em uma ideia: todo ponto do eixo y tem x = 0, e todo ponto do eixo x tem y = 0. Então:

• Para achar onde o gráfico corta o eixo y, faça x = 0 e calcule y. O ponto é (0; y).
• Para achar as raízes, faça y = 0 e resolva para x. Cada raiz dá um ponto (x; 0).

Função afim. Em f(x) = ax + b, o número a é o coeficiente angular (a inclinação da reta) e b é o coeficiente linear: o valor de f(0), ou seja, a altura em que a reta corta o eixo y. A raiz sai de ax + b = 0: x = −b/a. Em f(x) = 2x − 6, o coeficiente linear é −6, ponto (0; −6), e a raiz é 6/2 = 3, ponto (3; 0).

Se a reta vier na forma geral, como 2x + 3y = 12, tampe uma letra de cada vez: com x = 0, 3y = 12, então (0; 4); com y = 0, 2x = 12, então (6; 0). Dois casos especiais: uma reta horizontal como y = 4 nunca corta o eixo x (a função constante não tem raiz), e uma reta vertical como x = 3 nunca corta o eixo y (e nem é gráfico de função).

Função quadrática. Em f(x) = ax² + bx + c, o gráfico corta o eixo y sempre em (0; c). As raízes são as soluções de ax² + bx + c = 0, que você acha fatorando, completando quadrados ou com a fórmula de Bhaskara. Uma parábola pode ter duas, uma ou nenhuma raiz real. Na forma canônica, faça y = 0 e tire a raiz: em f(x) = (x − 1)² − 9, (x − 1)² = 9, x − 1 = ±3, então x = 4 ou x = −2. Para conferir, use soma e produto: S = −b/a e P = c/a.

Outras funções. A regra é a mesma. Numa função racional como f(x) = (x − 2)/(x + 1), a raiz é onde o numerador zera (x = 2), desde que o denominador não zere ali. Uma função pode ter muitas raízes, mas corta o eixo y no máximo uma vez, porque cada x tem um único y.

O que significam. Em problemas reais, o coeficiente linear costuma ser o valor inicial: a bandeirada do táxi, o dinheiro guardado no começo, a bateria cheia. A raiz costuma indicar quando algo acaba ou chega ao chão: a caixa-d'água vazia, a bola que cai.

Atenção aos nomes parecidos: o “coeficiente de dilatação linear” da física e o “coeficiente de correlação linear” de Pearson, da estatística, são outras coisas, sem relação com o b da função afim.

O que é o coeficiente linear de uma função afim?#

É o número b em f(x) = ax + b. Ele é o valor de f(0), ou seja, a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Em f(x) = 3x − 2, o coeficiente linear é −2.

Como calcular o coeficiente linear e o angular da reta com dois pontos?#

Calcule primeiro o coeficiente angular a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Depois substitua um dos pontos em y = ax + b e resolva para achar b.

O que são as raízes de uma função?#

São os valores de x que zeram a função, isto é, que tornam f(x) = 0. No gráfico, são os pontos em que a curva corta o eixo x. Para f(x) = x² − 4, as raízes são 2 e −2.

Como achar as raízes da função do 2º grau?#

Iguale a função a zero e resolva ax² + bx + c = 0 por fatoração, por soma e produto ou pela fórmula de Bhaskara. O delta diz antes quantas raízes reais existem.

Qual é o produto das raízes da função quadrática?#

Quando as raízes existem, o produto é P = c/a e a soma é S = −b/a. Em x² − 5x + 6 = 0, P = 6 e S = 5, então as raízes são 2 e 3.

Um gráfico pode cortar o eixo y duas vezes?#

O gráfico de uma função, não: x = 0 tem um único valor de y. Uma circunferência, que não é função, pode cortar o eixo y em dois pontos.