O que é função inversa e como calcular?

Pense numa função como uma máquina. f(x) = 2x + 1 pega o 3, multiplica por 2 (6), soma 1 e devolve 7. A máquina inversa funciona ao contrário: pega o 7, subtrai 1 (6), divide por 2 e devolve o 3. Cada passo é desfeito, na ordem contrária, como tirar o tênis antes da meia.

A inversa de f é escrita f⁻¹(x) e lida "f inversa de x". O −1 não é expoente: f⁻¹(x) não significa 1/f(x).

Para calcular a inversa, use o método da troca:

1. Escreva y = f(x), por exemplo y = 2x + 1.
2. Troque x por y e y por x: x = 2y + 1.
3. Isole o y: x − 1 = 2y, então y = (x − 1)/2.

Logo, f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Conferindo: f(3) = 7 e f⁻¹(7) = 6/2 = 3. Em geral, (f ∘ f⁻¹)(x) = x e (f⁻¹ ∘ f)(x) = x: compor uma função com a inversa dá a função identidade, ou seja, você volta para onde começou.

No gráfico, trocar x por y transforma cada ponto (a, b) em (b, a). Isso é uma simetria em relação à reta y = x (a bissetriz dos quadrantes ímpares). Se (3, 7) está no gráfico de f, então (7, 3) está no gráfico de f⁻¹.

Nem toda função tem inversa. f(x) = x² leva 3 e −3 ao 9, então a inversa não saberia para qual voltar. Só tem inversa a função bijetora: injetora (cada imagem vem de um único x) e sobrejetora (o contradomínio é todo usado). No gráfico, se uma reta horizontal corta a curva mais de uma vez, a função não é injetora. A saída é restringir o domínio: para x ≥ 0, f(x) = x² é bijetora sobre [0, +∞) e sua inversa é f⁻¹(x) = √x.

Além disso, o domínio de f⁻¹ é a imagem de f, e a imagem de f⁻¹ é o domínio de f.

Você já conhece pares famosos: x² e √x (para x ≥ 0), x³ e ∛x, 10ˣ e log x (veja logaritmos), eˣ e ln x, e sen x e arcsen x num domínio restrito.

Com uma função do 2º grau, restrinja o domínio antes. f(x) = (x − 3)² + 1 com x ≥ 3: trocando, x = (y − 3)² + 1, então (y − 3)² = x − 1 e y = 3 + √(x − 1). Fica a raiz positiva porque y ≥ 3. Logo, f⁻¹(x) = 3 + √(x − 1) para x ≥ 1. Conferindo: f(4) = 2 e f⁻¹(2) = 3 + 1 = 4.

O que são funções inversas?#

São duas funções que se desfazem: se f leva 3 em 7, a inversa leva 7 em 3. Aplicar f e depois f⁻¹ devolve você ao ponto de partida.

Como calcular a função inversa?#

Escreva y = f(x), troque x por y e isole o y. O resultado é f⁻¹(x). Confira sempre com um número.

Quando duas funções são inversas entre si?#

Quando a composta das duas, nas duas ordens, dá a identidade: f(g(x)) = x e g(f(x)) = x. Com f(x) = 2x + 1 e g(x) = (x − 1)/2, as duas compostas dão x.

Como é o gráfico da função inversa?#

É o reflexo do gráfico de f na reta y = x: cada ponto (a, b) vira (b, a). Os gráficos de 2ˣ e de log₂ x são o exemplo clássico.

Qual é a relação entre função inversa e logaritmo?#

A função logarítmica é a inversa da exponencial: y = 10ˣ e y = log x se desfazem, assim como eˣ e ln x. Por isso log(10³) = 3 e 10^(log 5) = 5.

O que são funções trigonométricas inversas?#

arcsen, arccos e arctg dão o ângulo a partir de uma razão: arcsen(0,5) = 30°. Como o seno se repete, restringe-se o seno ao intervalo de −90° a 90°, que passa a ser a imagem do arcsen (o domínio do arcsen é [−1, 1]). Na calculadora elas aparecem como sin⁻¹, cos⁻¹ e tan⁻¹.

Toda função tem inversa?#

Não. Só as bijetoras. Funções como x² ganham uma inversa quando restringimos o domínio a uma parte em que são injetoras.