O que é logaritmo e como se calcula?

Você já sabe calcular "2 elevado a 3" (dá 8). O logaritmo faz a pergunta ao contrário: "2 elevado a qual expoente dá 8?". Essa pergunta se escreve log₂ 8, se lê "logaritmo de 8 na base 2" e a resposta é 3. A definição é:

log_b a = x significa exatamente o mesmo que b^x = a

O número b é a base, a é o logaritmando e o resultado x é o logaritmo, que é um expoente. Há uma condição de existência: o logaritmando tem de ser positivo (a > 0) e a base tem de ser positiva e diferente de 1 (b > 0, b ≠ 1). Se você domina potências, já sabe quase tudo: logaritmo e potência são duas formas de escrever o mesmo fato, e o logaritmo "desfaz" a potência como a subtração desfaz a adição.

Duas bases têm tecla própria na calculadora. log (sem base escrita) é a base 10, o logaritmo decimal: log 1000 = 3 porque 10³ = 1000. ln é a base e, o logaritmo natural (ou neperiano), em que e ≈ 2,718 é um número especial que aparece em crescimento, juros compostos e cálculo. ln e = 1 pelo mesmo motivo que log 10 = 1.

Para que serve? Para transformar faixas enormes em números fáceis. log 10 = 1, log 1 000 000 = 6, log 1 000 000 000 = 9. Cada passo de 1 significa "dez vezes mais". É assim que funciona a escala de pH (pH 3 é dez vezes mais ácido que pH 4), os decibéis (cada 10 dB a mais é dez vezes mais intensidade sonora) e é por isso que números grandes em notação científica são fáceis de comparar: o expoente de 10 é, aproximadamente, o logaritmo decimal.

Os logaritmos também transformam multiplicação em soma. Em 1614, o matemático escocês John Napier publicou as primeiras tábuas de logaritmos, e pouco depois Henry Briggs fez as de base 10. Por mais de 300 anos, cientistas e engenheiros multiplicaram números grandes procurando seus logaritmos numa tábua, somando e procurando o resultado de volta. A régua de cálculo funcionava do mesmo jeito.

Por fim, o logaritmo é a ferramenta para resolver equações exponenciais, em que a incógnita está no expoente, como 3^x = 20. Com a álgebra comum não dá para "descer" o x; com o logaritmo, dá.

Para simplificar vários logaritmos, primeiro use a propriedade da potência para subir para o expoente os números que estão na frente, depois junte tudo num só logaritmo com as propriedades do produto e do quociente. Por exemplo, 2 log 5 + log 4 = log 25 + log 4 = log 100 = 2.

O que é logaritmo na matemática, de um jeito simples?#

É o expoente que falta. log 100 = 2 porque é preciso elevar 10 ao quadrado para obter 100. Um logaritmo é um expoente escrito ao contrário.

Quais são as propriedades dos logaritmos?#

As três principais são a do produto, log (M · N) = log M + log N; a do quociente, log (M : N) = log M − log N; e a da potência, log (Mᵏ) = k · log M. Junto com log_b b = 1, log_b 1 = 0 e a mudança de base, elas resolvem quase todo exercício do Ensino Médio.

O que são logaritmos decimais e naturais?#

Logaritmos decimais têm base 10 e são escritos só "log" (log 1000 = 3). Logaritmos naturais têm base e ≈ 2,718 e são escritos "ln" (ln e = 1).

Como calcular logaritmo na calculadora?#

Para base 10, aperte log; para base e, aperte ln. Para outra base, use a mudança de base: log₂ 50 = log 50 : log 2 ≈ 5,64. Muitas calculadoras científicas também têm uma tecla de log com espaço para a base.

Qual a relação entre logaritmo e função exponencial?#

São funções inversas. y = log_b x desfaz y = bˣ, por isso seus gráficos são simétricos em relação à reta y = x. É por isso que o logaritmo resolve equações exponenciais.

Como aprender logaritmos passo a passo?#

Primeiro revise potências (inclusive com expoente negativo e fracionário), depois pratique a definição com valores exatos como log₂ 16, em seguida as propriedades e, por último, as equações. Pular a primeira etapa é o que mais atrapalha.

O que era a tábua de logaritmos?#

Era um livro com os logaritmos de muitos números, usado antes das calculadoras. Para multiplicar dois números grandes, procurava-se o logaritmo de cada um, somava-se e procurava-se o resultado de volta na tábua.