¿Qué dicen el teorema del seno y el teorema del coseno, y cuándo se usa cada uno?

Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente como cocientes de lados) y el teorema de Pitágoras solo funcionan en triángulos rectángulos (ver trigonometría). Pero los triángulos de la vida real, como la ruta de dos barcos, la estructura de un tejado o una parcela con tres lindes, casi nunca tienen un ángulo recto. Para ellos están el teorema del seno y el del coseno, que en Latinoamérica se llaman también ley de senos y ley de cosenos.

Primero, la notación. Llama A, B y C a los ángulos, y llama al lado opuesto a cada ángulo con la misma letra en minúscula: el lado a está enfrente del ángulo A, el lado b enfrente de B y el lado c enfrente de C. Todas las fórmulas de esta página dependen de esa pareja.

El teorema del seno dice que en todo triángulo, cada lado dividido entre el seno de su ángulo opuesto da el mismo número:

a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C

Para hallar un ángulo es más cómodo darle la vuelta: sen A ÷ a = sen B ÷ b = sen C ÷ c. Se usan solo dos de las tres partes a la vez, y hace falta una pareja completa (un lado y su ángulo opuesto) para empezar.

El teorema del coseno es el teorema de Pitágoras con una corrección para ángulos que no miden 90°:

a² = b² + c² − 2bc · cos A

Despejado para hallar un ángulo:

cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)

Si A = 90°, cos A = 0 y vuelves a a² = b² + c², el teorema de Pitágoras. Si A es obtuso, cos A es negativo y a sale más largo de lo que diría Pitágoras, lo cual tiene sentido: un ángulo más abierto aleja el lado opuesto.

¿Cuál uso?

• Dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo que no está entre ellos (una pareja completa y un dato más) → teorema del seno.
• Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos → teorema del coseno para el tercer lado.
• Los tres lados → teorema del coseno para un ángulo.

Una fórmula relacionada da el área sin necesidad de la altura: Área = ½ · a · b · sen C, con dos lados y el ángulo que forman.

El caso ambiguo. Si conoces dos lados y un ángulo que no está entre ellos, puede haber dos triángulos posibles. Con a = 6, b = 8 y A = 40°, sen B = 8 · sen 40° ÷ 6 ≈ 0,857, así que B ≈ 59,0° o B ≈ 121,0°. Valen los dos, porque 40° + 121,0° sigue siendo menos de 180°.

¿El teorema del seno sirve para cualquier triángulo?#

Sí, vale para todos los triángulos. También para los rectángulos: como sen 90° = 1, se reduce a las razones trigonométricas de siempre, que allí suelen ser más rápidas.

¿El teorema del coseno se puede aplicar a triángulos rectángulos?#

Sí. Con el ángulo de 90° el término 2bc · cos A vale 0 y queda el teorema de Pitágoras. Por eso se dice que el teorema del coseno generaliza a Pitágoras.

¿Cómo diferenciar cuándo usar el seno y cuándo el coseno?#

Si tienes una pareja completa (un lado y su ángulo opuesto), usa el seno. Si tienes dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados, usa el coseno.

¿Cómo se despeja el teorema del coseno para hallar un ángulo?#

Pasa los términos para aislar el coseno: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc). Después aplica cos⁻¹ en la calculadora.

¿Qué es el caso ambiguo del teorema del seno?#

Cuando conoces dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos, puede haber dos triángulos distintos, porque sen θ = sen(180° − θ). Comprueba siempre si la solución obtusa también es válida.

¿Cómo se demuestra el teorema del seno?#

Traza la altura h desde C hasta el lado c. En los dos triángulos rectángulos que se forman, h = b · sen A y h = a · sen B. Igualando, b · sen A = a · sen B, que equivale a a ÷ sen A = b ÷ sen B.