Matemáticas
¿Qué es el teorema de Pitágoras?
Respuesta rápida
El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, a² + b² = c², donde c es el lado más largo (la hipotenusa). Para catetos de 3 y 4, la hipotenusa mide 5.
En una frase
El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo: los dos lados más cortos elevados al cuadrado y sumados dan el lado más largo elevado al cuadrado.
Explicación
Todo triángulo rectángulo tiene un lado especial, la hipotenusa. Es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es el más largo. Los otros dos lados se llaman catetos. Llama a y b a los catetos, y c a la hipotenusa. Entonces:
a² + b² = c²
casa
regla
El ejemplo más famoso es un triángulo de lados 3, 4 y 5. Compruébalo: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, y 5² = 25. ✓
Puedes imaginarlo con cuadrados. Dibuja un cuadrado sobre cada lado del triángulo. El área del cuadrado grande sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños: 9 + 16 = 25.
Hallar la hipotenusa. Eleva al cuadrado los dos catetos, suma y calcula la raíz cuadrada. Una rampa sube 5 m sobre una distancia horizontal de 12 m. Su longitud es √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 m.
Hallar un cateto. Eleva al cuadrado los dos lados que conoces, resta y calcula la raíz cuadrada. Una escalera de 10 m llega a 8 m de altura en una pared. ¿A qué distancia está su pie de la pared? √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 m.
Comprobar si hay un ángulo recto. Si a² + b² = c² se cumple con tres lados, el triángulo tiene un ángulo recto. Los constructores han usado la regla 3-4-5 con cuerdas y cintas métricas para trazar esquinas en escuadra.
El teorema lleva el nombre de Pitágoras, un pensador griego que vivió hace unos 2500 años, pero unas tablillas de arcilla más antiguas, de la antigua Babilonia, muestran que se conocían estos triángulos especiales más de 1000 años antes que él.
Ejemplos
| a | b | c (hipotenusa) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 1 | 1 | √2 ≈ 1,41 |
| 7 | 24 | 25 |
Los conjuntos de números enteros como 3, 4, 5 se llaman ternas pitagóricas. Multiplica una por cualquier número y obtendrás otra: 6, 8, 10.
Errores frecuentes
- Sumar cuando hay que restar. Si conoces la hipotenusa, resta para hallar un cateto.
- Olvidar la raíz cuadrada al final, y dar 169 en lugar de 13.
- Usarlo en un triángulo sin ángulo recto. Solo funciona con triángulos rectángulos.
- Elevar al cuadrado la suma: (3 + 4)² = 49 no es 3² + 4² = 25.
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Teorema de Pitágoras
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Pregunta 1 de 4
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
A practicar
Pruébalo
Práctica de geometría y de Pitágoras
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