¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos?

Imagina un plano de tu barrio dibujado en papel cuadriculado. Tu casa está en (1, 2) y la biblioteca en (4, 6). Andando por la cuadrícula irías 3 cuadros a la derecha y 4 hacia arriba, pero un pájaro iría en línea recta. ¿Cuánto mide esa línea? Eso es lo que calcula la fórmula de la distancia.

Si dibujas lo que avanzas y lo que subes, aparece un triángulo rectángulo. El segmento entre los dos puntos es el lado más largo, la hipotenusa. Así que la fórmula es el teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) disfrazado. Para A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂):

d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Para la casa y la biblioteca: se avanza 4 − 1 = 3, se sube 6 − 2 = 4, así que d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cuadros.

Tres ideas que ayudan:

• El orden de los puntos da igual. 3 − 7 = −4 y 7 − 3 = 4, pero al cuadrado los dos dan 16.
• Una distancia nunca es negativa. Los cuadrados no son negativos y se toma la raíz positiva.
• ¿Misma x o misma y? No hace falta la fórmula. Si los puntos tienen la misma x, están en una recta vertical: basta con restar las y. De (2, 3) a (2, −4) hay 3 − (−4) = 7 unidades. Si tienen la misma y, se restan las x.

Muchos resultados no son exactos. √20 es aproximadamente 4,47 y, simplificado, es 2√5 (mira las raíces cuadradas). Si piden el resultado exacto, déjalo como radical.

La misma idea sirve en el espacio (en R³): se añade la diferencia de alturas z como tercer cuadrado, d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Así se calcula la diagonal de una caja.

A esta distancia se la llama también distancia euclídea (o euclidiana). Va junto a otras dos fórmulas con dos puntos dados por sus coordenadas: el punto medio, ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2), que está justo a mitad de camino, y la pendiente, (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), que dice lo inclinado que está el segmento.

Comprobación rápida: la distancia tiene que ser al menos tan grande como la mayor de las dos diferencias y no más que su suma. De (1, 2) a (4, 6), 5 está entre 4 y 3 + 4 = 7: tiene sentido.

¿Cuál es la fórmula de la distancia entre dos puntos?#

d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Restas las x y las y, elevas al cuadrado, sumas y haces la raíz cuadrada.

¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano?#

Si los puntos tienen la misma x o la misma y, basta con restar las otras coordenadas. Si no, dibuja el triángulo rectángulo o usa la fórmula: eleva al cuadrado lo que se avanza y lo que se sube, suma y haz la raíz.

¿Qué es la distancia euclídea entre dos puntos?#

Es el nombre técnico de la distancia en línea recta, la que da la fórmula anterior. Se llama así por Euclides, el matemático griego de la geometría clásica.

¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos en el espacio (R³)?#

Se añade un tercer término con las z: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). De (1, 2, 3) a (3, 5, 9) hay √(4 + 9 + 36) = 7.

¿Cómo se calcula la distancia entre un punto y una recta?#

Para el punto P(x₀, y₀) y la recta ax + by + c = 0, la distancia más corta es |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). De (1, 2) a la recta 3x + 4y − 1 = 0 hay |3 + 8 − 1| / 5 = 2.

¿Qué diferencia hay entre la distancia y el punto medio?#

La distancia es un número (cuánto mide el segmento) y el punto medio es un punto (el centro del segmento). Para (2, 3) y (8, 11), la distancia es √(36 + 64) = 10 y el punto medio es (5, 7).

¿Cómo se mide la distancia entre dos puntos en Google Maps?#

En el ordenador, haz clic derecho en el mapa, elige «Medir distancia» y marca los puntos. Los mapas trabajan sobre la superficie curva de la Tierra, así que no usan esta fórmula plana, pero para una zona pequeña la fórmula da una aproximación muy buena.