Matemáticas
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia y cómo se halla?
Respuesta rápida
La circunferencia de centro (a, b) y radio r tiene la ecuación (x − a)² + (y − b)² = r². Si el centro está en el origen, es simplemente x² + y² = r².
En una frase
La ecuación de la circunferencia es la condición que cumple cada punto (x, y) de la circunferencia: su distancia al centro es siempre el radio, y eso da (x − a)² + (y − b)² = r².
Explicación
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia, el radio r, de un punto fijo, el centro. En unos ejes de coordenadas esa frase se convierte en una ecuación.
reloj
lápiz
regla
Ecuación de la circunferencia de centro C(a, b) y radio r (ecuación ordinaria, también llamada canónica o reducida):
(x − a)² + (y − b)² = r²
¿De dónde sale? Toma un punto cualquiera P(x, y) de la circunferencia y el centro C(a, b). Dibuja un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea CP: el cateto horizontal mide x − a y el vertical y − b. Por el teorema de Pitágoras, (x − a)² + (y − b)² = CP² = r². Es la fórmula de la distancia entre dos puntos, elevada al cuadrado.
El caso especial más importante es la circunferencia con centro en el origen: a = 0 y b = 0, así que
x² + y² = r²
Por ejemplo, x² + y² = 25 es la circunferencia de centro (0, 0) y radio 5. Pasa por (5, 0), (0, 5), (−5, 0), (0, −5) y también por (3, 4), porque 3² + 4² = 25.
Cómo leer la ecuación. Los signos dentro de los paréntesis son los contrarios de las coordenadas del centro: (x − 2)² significa a = 2, pero (x + 2)² = (x − (−2))² significa a = −2. Y el número de la derecha es r², no r: haz la raíz cuadrada para obtener el radio.
¿Dentro, sobre o fuera? Sustituye las coordenadas de un punto en el miembro de la izquierda. Si sale exactamente r², el punto está sobre la circunferencia; si sale menos, dentro; si sale más, fuera.
Ecuación general. Si desarrollas los cuadrados obtienes la ecuación general x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Para hallar el centro y el radio, completa cuadrados en x y en y. El centro es (−D/2, −E/2) y r² = (D/2)² + (E/2)² − F. Si ese número sale negativo, la ecuación no es una circunferencia.
Ejemplos
| Centro | Radio | Ecuación |
|---|---|---|
| (0, 0) | 3 | x² + y² = 9 |
| (2, 5) | 4 | (x − 2)² + (y − 5)² = 16 |
| (−3, 1) | 6 | (x + 3)² + (y − 1)² = 36 |
| (4, −2) | √7 | (x − 4)² + (y + 2)² = 7 |
| (0, −5) | 1 | x² + (y + 5)² = 1 |
Ejemplo resuelto 1 (centro y un punto): halla la circunferencia de centro (−1, 2) que pasa por (5, 10). El radio es la distancia entre los dos puntos: r² = (5 − (−1))² + (10 − 2)² = 36 + 64 = 100. La ecuación es (x + 1)² + (y − 2)² = 100, y r = 10.
Ejemplo resuelto 2 (ecuación general): halla el centro y el radio de x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0. Agrupa y completa cuadrados: (x² − 4x) + (y² + 6y) = 3, luego (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 = 3, es decir, (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Centro (2, −3) y radio 4.
Errores frecuentes
- Equivocarse con los signos del centro. (x + 3)² + (y − 1)² = 36 tiene centro (−3, 1), no (3, −1). Solución: escríbelo como (x − (−3))².
- No elevar el radio al cuadrado. Con radio 6 la ecuación es … = 36, no … = 6.
- Dar r² como radio. En x² + y² = 49 el radio es √49 = 7, no 49.
- Completar cuadrados solo en un lado. Si sumas 4 y 9 dentro de los paréntesis, réstalos después (o súmalos también al otro miembro) para que la igualdad se mantenga.
Paso a paso
Paso a paso
- Halla el centroLéelo en el enunciado o calcula el punto medio si conoces los extremos de un diámetro.
- Halla r²Usa el radio dado o la distancia al cuadrado del centro a un punto de la circunferencia.
- SustituyePon a, b y r² en (x − a)² + (y − b)² = r².
- CompruebaSustituye un punto conocido de la circunferencia: los dos miembros deben coincidir.
- Desde la ecuación generalAgrupa los términos en x y en y, completa cuadrados y lee el centro y el radio.
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Con eso se halla la ecuación de una tangente, como en el ejercicio 16.
Ejercicios de práctica
Ecuación de la circunferencia
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Escribe la ecuación de la circunferencia de centro (0, 0) y radio 5.
Ver respuesta
x² + y² = 25 - Escribe la ecuación de la circunferencia de centro (2, 3) y radio 4.
Ver respuesta
(x − 2)² + (y − 3)² = 16 - Escribe la ecuación de la circunferencia de centro (−1, 4) y radio 3.
Ver respuesta
(x + 1)² + (y − 4)² = 9 - Halla el centro y el radio de (x − 5)² + (y + 2)² = 49.
Ver respuesta
Centro (5, −2), radio 7 - Halla el centro y el radio de x² + (y − 1)² = 10.
Ver respuesta
Centro (0, 1), radio √10 ≈ 3,16 - ¿Está el punto (3, 4) sobre la circunferencia x² + y² = 25?
Ver respuesta
3² + 4² = 9 + 16 = 25: sí - ¿El punto (1, 2) está dentro, sobre o fuera de (x − 4)² + (y − 6)² = 16?
Ver respuesta
(1 − 4)² + (2 − 6)² = 9 + 16 = 25 > 16: fuera - Una circunferencia tiene centro (1, −2) y pasa por (4, 2). Halla su ecuación.
Ver respuesta
r² = 3² + 4² = 25: (x − 1)² + (y + 2)² = 25 - Los extremos de un diámetro son (−2, 1) y (6, 7). Halla la ecuación de la circunferencia.
Ver respuesta
Centro = punto medio (2, 4); r² = (6 − 2)² + (7 − 4)² = 16 + 9 = 25: (x − 2)² + (y − 4)² = 25 - Halla el centro y el radio de x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
Ver respuesta
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0, luego (x − 3)² + (y + 2)² = 25: centro (3, −2), radio 5 - Halla el centro y el radio de x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0.
Ver respuesta
(x + 4)² − 16 + (y − 1)² − 1 + 8 = 0, luego (x + 4)² + (y − 1)² = 9: centro (−4, 1), radio 3 - Escribe (x − 2)² + (y + 5)² = 9 en forma general.
Ver respuesta
x² − 4x + 4 + y² + 10y + 25 − 9 = 0: x² + y² − 4x + 10y + 20 = 0 - ¿Dónde corta (x − 3)² + (y − 1)² = 25 al eje de ordenadas?
Ver respuesta
Con x = 0: 9 + (y − 1)² = 25, así que (y − 1)² = 16 e y − 1 = ±4: (0, 5) y (0, −3) - ¿Es x² + y² + 2x + 4y + 10 = 0 una circunferencia?
Ver respuesta
(x + 1)² + (y + 2)² = 1 + 4 − 10 = −5. Una suma de cuadrados no puede ser negativa: no es una circunferencia. - Halla la circunferencia que pasa por (0, 0), (6, 0) y (0, 8).
Ver respuesta
En x² + y² + Dx + Ey + F = 0: (0, 0) da F = 0; (6, 0) da 36 + 6D = 0, D = −6; (0, 8) da 64 + 8E = 0, E = −8. Queda x² + y² − 6x − 8y = 0: (x − 3)² + (y − 4)² = 25 - Halla la recta tangente a x² + y² = 25 en el punto (3, 4).
Ver respuesta
El radio hasta (3, 4) tiene pendiente 4/3, así que la tangente tiene pendiente −3/4: y − 4 = −¾(x − 3), es decir, 3x + 4y = 25
Problemas
Circunferencias en un plano
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Una antena de telefonía en (0, 0) da cobertura hasta 8 km. Escribe la ecuación del borde de la zona de cobertura. ¿Tiene cobertura una casa en (5, 6) (en km)?
Ver respuesta
x² + y² = 64; 5² + 6² = 61 < 64, la casa está dentro: sí tiene cobertura. - Un aspersor en (3, 2) riega todo lo que está a 4 m o menos. Escribe la ecuación del borde de la zona regada. ¿Llega a un rosal en (6, 6)?
Ver respuesta
(x − 3)² + (y − 2)² = 16; (6 − 3)² + (6 − 2)² = 9 + 16 = 25 > 16: no (el rosal está a 5 m). - En un plano en metros, el borde de un estanque redondo es x² + y² − 10x − 8y + 32 = 0. Halla el centro y el radio del estanque.
Ver respuesta
(x − 5)² + (y − 4)² = 25 + 16 − 32 = 9: centro (5, 4), radio 3 m - Una noria tiene el centro a 20 m del suelo y un radio de 18 m. Tomando el suelo como eje x y el centro en (0, 20), escribe su ecuación y halla la altura de la cabina más baja.
Ver respuesta
x² + (y − 20)² = 324; punto más bajo 20 − 18 = 2 m sobre el suelo. - Una cabra está atada a un poste en (2, −1) con una cuerda de 5 m. ¿Llega a una zanahoria en (5, 3)?
Ver respuesta
(5 − 2)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25 = 5², la zanahoria está justo en el borde: sí, justo.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia?
Es (x − a)² + (y − b)² = r², donde (a, b) es el centro y r el radio. En muchos libros el centro se escribe (h, k). Con centro en el origen queda x² + y² = r².
¿Qué es la ecuación general de la circunferencia?
Es x² + y² + Dx + Ey + F = 0, la ordinaria con los cuadrados desarrollados. Para volver a la ordinaria se completan cuadrados; el centro es (−D/2, −E/2) y r² = (D/2)² + (E/2)² − F.
¿Cómo se halla la ecuación de la circunferencia que pasa por dos puntos?
Si los dos puntos son los extremos de un diámetro, el centro es su punto medio y el radio, la mitad de la distancia entre ellos. Si solo sabes que la circunferencia pasa por ellos, hay infinitas posibles: hace falta un dato más (otro punto, el radio o una recta donde está el centro).
¿Cómo se halla la circunferencia que pasa por tres puntos?
Sustituye cada punto en x² + y² + Dx + Ey + F = 0: salen tres ecuaciones con D, E y F. Resuelve el sistema y completa cuadrados. También puedes trazar las mediatrices de dos cuerdas: se cortan en el centro.
¿Cómo se representa gráficamente la ecuación de la circunferencia?
Lee el centro y el radio, marca el centro en los ejes y, con el compás abierto la medida del radio, traza la circunferencia. Comprueba con algún punto fácil, como (a + r, b).
¿Se puede calcular el área con la ecuación?
Sí: lee r y usa área = πr² y longitud = 2πr. Para x² + y² = 25, r = 5: el área es 25π ≈ 78,5 unidades cuadradas y la longitud 10π ≈ 31,4 unidades.
Test rápido
Ecuación de la circunferencia
Comprueba lo que sabes con 4 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 4
¿Cuáles son el centro y el radio de (x − 3)² + (y + 4)² = 36?
A practicar
Pruébalo
Repasa la circunferencia: radio, longitud y área
Fichas de geometría
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Para adultos
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