¿Qué es completar el cuadrado y cómo se hace paso a paso?

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Por ejemplo, (x + 3)² = x² + 6x + 9. Fíjate en el patrón: el número del paréntesis (3) es la mitad del coeficiente de x (6), y el término independiente (9) es esa mitad al cuadrado. En general, es la identidad notable

(x + d)² = x² + 2dx + d²

La mayoría de los polinomios de grado 2 no son trinomios cuadrados perfectos. x² + 6x + 5 es «casi» (x + 3)², pero termina en 5 en lugar de 9. Completar el cuadrado lo arregla: se escribe el cuadrado perfecto y se corrige el término independiente.

x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4

La regla para cualquier x² + bx + c es:

x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c

¿Por qué se llama completar el cuadrado? Imagina x² como un cuadrado de lado x, y 6x como dos rectángulos de 3 por x pegados a dos de sus lados. La figura es casi un cuadrado grande de lado x + 3: solo falta una esquina de 3 × 3. Al añadir esas 9 unidades, completas el cuadrado. Así resolvía las ecuaciones de segundo grado al-Juarismi hace más de mil años.

Cuando la expresión está en la forma a(x + p)² + q (la llamada forma canónica), hay tres cosas que se vuelven fáciles:

• Resolver la ecuación. Pasas q al otro lado, divides entre a y sacas raíces cuadradas. Funciona con cualquier ecuación de segundo grado, aunque no se pueda factorizar. De hecho, completando el cuadrado en ax² + bx + c = 0 se deduce la fórmula general.
• El vértice de la parábola. La gráfica de y = a(x + p)² + q tiene el vértice en (−p, q).
• El máximo o el mínimo. Un cuadrado nunca es negativo, así que (x + p)² + q nunca es menor que q. Si a es negativo, la parábola se abre hacia abajo y q es el valor máximo.

Si x² lleva un coeficiente (a ≠ 1), primero sacas factor común a en los términos con x² y con x: 2x² + 12x + 7 = 2(x² + 6x) + 7. Completas el cuadrado dentro del paréntesis y vuelves a multiplicar.

Comprobación rápida: desarrolla tu resultado. Si vuelves al polinomio original, está bien.

¿Cuál es la fórmula para completar el cuadrado?#

Para x² + bx + c: x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c. Para la forma ax² + bx + c queda a(x + b/2a)² + c − b²/4a, pero no hace falta memorizarla si sacas primero factor común a.

¿Cómo se completa el trinomio cuadrado perfecto?#

Toma el coeficiente de x, divídelo entre 2 y eleva el resultado al cuadrado: ese es el número que falta. En x² + 10x faltan (10/2)² = 25, y x² + 10x + 25 = (x + 5)². Si lo sumas en una expresión, réstalo también para no cambiarla.

¿Cómo se completa el cuadrado en una ecuación de segundo grado?#

Pasa el término independiente al otro lado, suma (b/2)² a los dos miembros y escribe el lado izquierdo como binomio al cuadrado. En x² + 6x − 7 = 0: x² + 6x = 7, x² + 6x + 9 = 16, (x + 3)² = 16, x + 3 = ±4, luego x = 1 o x = −7.

¿Cómo se completa el cuadrado en una función cuadrática ax² + bx + c?#

Saca factor común a en los términos con x, completa el cuadrado dentro del paréntesis y multiplica por a lo que restas. Para 2x² + 8x + 1: 2(x² + 4x) + 1 = 2[(x + 2)² − 4] + 1 = 2(x + 2)² − 7, con vértice en (−2, −7).

¿Para qué sirve completar cuadrados?#

Para resolver ecuaciones de segundo grado que no se factorizan, para hallar el vértice y el máximo o mínimo de una parábola, para deducir la fórmula general y, en Bachillerato, para hallar el centro y el radio de una circunferencia: x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 se convierte en (x − 2)² + (y + 3)² = 25, con centro (2, −3) y radio 5.

¿Es mejor completar el cuadrado o usar la fórmula general?#

Para resolver, los dos métodos funcionan siempre y la fórmula suele ser más rápida. Completar el cuadrado conviene cuando también necesitas el vértice o el máximo, o cuando a = 1 y b es par, porque los números quedan pequeños.