Matemáticas
¿Qué es el vértice de una parábola y cómo se calcula?
Respuesta rápida
El vértice es el punto más bajo o más alto de una parábola. En y = ax² + bx + c está en xᵥ = −b/2a; sustituye ese valor en la función para obtener yᵥ.
En una frase
El vértice de una parábola es su punto de giro: el punto más bajo si la parábola se abre hacia arriba (∪) o el más alto si se abre hacia abajo (∩).
Explicación
La gráfica de toda función cuadrática, y = ax² + bx + c, es una parábola: una curva simétrica con forma de U. El vértice es el punto donde la curva deja de bajar y empieza a subir, o al revés.
pelota
puente
montaña
Hacia dónde se abre depende del signo de a, el número que acompaña a x²:
- a > 0: se abre hacia arriba (∪) y el vértice es un mínimo.
- a < 0: se abre hacia abajo (∩) y el vértice es un máximo.
La recta vertical que pasa por el vértice es el eje de simetría: si doblas la gráfica por ella, las dos ramas coinciden.
La fórmula del vértice. Para y = ax² + bx + c:
xᵥ = −b/2a, y la ordenada yᵥ se obtiene sustituyendo ese valor en la función.
¿De dónde sale −b/2a? Busca los puntos en los que y vale c. Entonces ax² + bx = 0, es decir, x(ax + b) = 0, que da x = 0 o x = −b/a. Esos dos puntos están a la misma altura, así que, por simetría, el vértice queda justo en medio: xᵥ = −b/2a. También existe una fórmula directa para la ordenada: yᵥ = c − b²/4a.
Puedes encontrar el vértice a partir de cualquiera de las tres formas de la función:
- Forma general y = ax² + bx + c: usa xᵥ = −b/2a y calcula yᵥ.
- Forma canónica y = a(x − h)² + k: el vértice es directamente V(h; k). Cuidado con el signo: y = (x + 4)² − 7 tiene el vértice en (−4; −7). Para pasar de la forma general a la canónica hay que completar el cuadrado.
- Forma factorizada y = a(x − x₁)(x − x₂): la parábola corta el eje X en x₁ y x₂, y el vértice está en medio: xᵥ = (x₁ + x₂)/2.
¿Para qué sirve? Siempre que algo sigue una parábola, el vértice responde a «¿cuál es el máximo (o el mínimo) y cuándo se alcanza?». Un balón lanzado hacia arriba con altura h = 20t − 5t² metros alcanza su vértice en t = −20/(2 · (−5)) = 2 segundos, cuando h = 40 − 20 = 20 m: sube 20 m a los 2 segundos y luego cae. Además, el vértice está justo en medio de las dos soluciones de la ecuación de segundo grado, y por eso la fórmula general empieza por −b/2a.
Ejemplos
| Función | Forma | Cálculo | Vértice | Máx. o mín. |
|---|---|---|---|---|
| y = x² − 6x + 5 | general | xᵥ = 6/2 = 3; yᵥ = 9 − 18 + 5 = −4 | (3; −4) | mínimo |
| y = 2x² + 8x + 3 | general | xᵥ = −8/4 = −2; yᵥ = 8 − 16 + 3 = −5 | (−2; −5) | mínimo |
| y = −x² + 4x + 1 | general | xᵥ = −4/(−2) = 2; yᵥ = −4 + 8 + 1 = 5 | (2; 5) | máximo |
| y = 3(x − 1)² + 4 | canónica | h = 1, k = 4 | (1; 4) | mínimo |
| y = −(x + 2)² + 6 | canónica | h = −2, k = 6 | (−2; 6) | máximo |
| y = (x − 1)(x − 5) | factorizada | xᵥ = (1 + 5)/2 = 3; yᵥ = 2 · (−2) = −4 | (3; −4) | mínimo |
La primera y la última fila son la misma parábola: (x − 1)(x − 5) = x² − 6x + 5, y los dos métodos dan (3; −4).
Ejemplo resuelto: halla el vértice de y = 2x² − 4x + 5. Aquí a = 2 y b = −4, así que xᵥ = 4/4 = 1. Entonces yᵥ = 2 · 1² − 4 · 1 + 5 = 3. El vértice es V(1; 3) y, como a = 2 es positivo, es un mínimo. Comprobación con la fórmula de la ordenada: 5 − 16/8 = 5 − 2 = 3. ✓
Errores frecuentes
- Olvidar el signo menos de −b/2a. En y = x² + 6x + 1, b = 6, así que xᵥ = −6/2 = −3, no 3.
- Equivocarse de signo en la forma canónica. y = (x − 2)² + 5 tiene el vértice en (2; 5); y = (x + 2)² + 5, en (−2; 5). Pregúntate qué valor de x anula el paréntesis.
- Dividir entre 2 y olvidar la a. −b/2a significa −b entre (2 · a). En y = 3x² − 12x, xᵥ = 12/6 = 2, no 12/2 = 6.
- Elevar mal un número negativo. Si x = −2, x² = 4 y 2x² = 8. Escribe el paréntesis: 2 · (−2)².
- Creer que el vértice siempre es el punto más bajo. Si a es negativo, es el más alto.
Paso a paso
Paso a paso
- Identifica a, b y cEscribe la función como y = ax² + bx + c, con sus signos.
- Calcula la abscisaXᵥ = −b/2a. (En forma canónica, lee h; en forma factorizada, haz la media de las raíces.)
- Calcula la ordenadaSustituye xᵥ en la función para obtener yᵥ.
- Decide si es máximo o mínimoA > 0: mínimo; a < 0: máximo.
- Comprueba con la simetríaDos valores de x a la misma distancia del vértice deben dar la misma y.
El eje de simetría es la recta x = xᵥ. Para dibujar la parábola, marca primero el vértice y haz una tabla de valores hacia los dos lados.
Ejercicios de práctica
Halla el vértice
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Halla el vértice de y = (x − 4)² + 1.
Ver respuesta
(4; 1) - Halla el vértice de y = (x + 3)² − 5.
Ver respuesta
El paréntesis se anula en x = −3: (−3; −5) - Halla el vértice de y = −2(x − 1)² + 8. ¿Es máximo o mínimo?
Ver respuesta
(1; 8), un máximo (a = −2 es negativo) - Halla el vértice de y = x² + 4.
Ver respuesta
b = 0, así que xᵥ = 0 e yᵥ = 4: (0; 4) - Halla el vértice de y = x² − 4x + 7.
Ver respuesta
xᵥ = 4/2 = 2; yᵥ = 4 − 8 + 7 = 3: (2; 3) - Halla el vértice de y = x² + 10x + 21.
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xᵥ = −10/2 = −5; yᵥ = 25 − 50 + 21 = −4: (−5; −4) - Halla el vértice de y = 2x² − 12x + 13.
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xᵥ = 12/4 = 3; yᵥ = 18 − 36 + 13 = −5: (3; −5) - Halla el vértice de y = −x² + 6x − 2.
Ver respuesta
xᵥ = −6/(−2) = 3; yᵥ = −9 + 18 − 2 = 7: (3; 7), un máximo - Halla el vértice de y = 3x² + 6x + 1.
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xᵥ = −6/6 = −1; yᵥ = 3 − 6 + 1 = −2: (−1; −2) - Halla el vértice de y = x² − 5x + 4.
Ver respuesta
xᵥ = 5/2 = 2,5; yᵥ = 6,25 − 12,5 + 4 = −2,25: (2,5; −2,25) - Halla el vértice de y = (x − 2)(x − 8).
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xᵥ = (2 + 8)/2 = 5; yᵥ = 3 · (−3) = −9: (5; −9) - Halla el vértice de y = −(x + 1)(x − 5).
Ver respuesta
xᵥ = (−1 + 5)/2 = 2; yᵥ = −(3)(−3) = 9: (2; 9), un máximo - Escribe y = x² + 8x + 10 en forma canónica y da el vértice.
Ver respuesta
(x + 4)² − 16 + 10 = (x + 4)² − 6, vértice (−4; −6) - Una parábola tiene el vértice en (2; −3) y pasa por (0; 1). Halla su ecuación en forma canónica.
Ver respuesta
y = a(x − 2)² − 3; en (0; 1): 1 = 4a − 3, así que a = 1: y = (x − 2)² − 3 - ¿Cuál es el valor máximo de y = −4x² + 8x + 5?
Ver respuesta
xᵥ = −8/(−8) = 1; yᵥ = −4 + 8 + 5 = 9: el máximo es 9, en x = 1
Problemas
El vértice en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- La altura de un balón es h = 20t − 5t² metros a los t segundos. ¿Qué altura máxima alcanza y cuándo?
Ver respuesta
t = −20/(2 · (−5)) = 2; h = 40 − 20 = 20: 20 m, a los 2 segundos - Con 40 m de valla se hace un rectángulo de área A = x(20 − x) m², donde x es el ancho. ¿Cuál es el área máxima?
Ver respuesta
A = −x² + 20x; xᵥ = 10; A = 10 · 10: 100 m² (un cuadrado de 10 m de lado) - El chorro de una fuente sigue h = −5t² + 10t + 1 metros. ¿Cuál es su punto más alto?
Ver respuesta
t = −10/(−10) = 1; h = −5 + 10 + 1: 6 m, al cabo de 1 segundo - Un arco de puente tiene la forma y = −0,02x² + 2x, en metros, donde x es la distancia a uno de sus pies. ¿Qué altura tiene el arco?
Ver respuesta
xᵥ = −2/(−0,04) = 50; y = −0,02 · 2500 + 100 = 50: 50 m de altura, a 50 m del pie - Dos números suman 14. ¿Cuál es el mayor producto posible?
Ver respuesta
P = x(14 − x) = −x² + 14x; xᵥ = 7: 49 (7 · 7) - El beneficio diario de un puesto de limonada es B = −10p² + 60p − 40 euros, donde p es el precio del vaso en euros. ¿Qué precio da el mayor beneficio?
Ver respuesta
p = −60/(−20) = 3; B = −90 + 180 − 40 = 50: 3 € el vaso, con 50 € de beneficio
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del vértice de la parábola?
Para y = ax² + bx + c, la abscisa del vértice es xᵥ = −b/2a. La ordenada se obtiene sustituyendo ese valor en la función, o con yᵥ = c − b²/4a.
¿Cómo se sacan las coordenadas del vértice?
Calcula primero xᵥ = −b/2a y luego yᵥ = f(xᵥ). El vértice es el punto V(xᵥ; yᵥ). En y = x² − 4x + 7, xᵥ = 2 e yᵥ = 3, así que V(2; 3).
¿Cómo se halla el vértice a partir de los puntos de corte con el eje X?
El vértice está a mitad de camino: suma las dos raíces y divide entre 2 para obtener xᵥ, y luego sustituye para obtener yᵥ.
¿Cómo se ve el vértice en la gráfica?
Es el punto donde la curva cambia de dirección. Si no cae en un punto de la cuadrícula, busca dos puntos de la parábola a la misma altura: el vértice está justo en medio de ellos.
¿Qué es el foco de la parábola?
Es otro punto, situado dentro de la curva. Cada punto de la parábola está a la misma distancia del foco que de una recta llamada directriz, y el vértice queda justo en medio de los dos. Para y = ax², el foco está en (0; 1/4a).
¿Una parábola puede tener más de un vértice?
No. Una parábola tiene exactamente un vértice y un eje de simetría.
Test rápido
Vértice de la parábola
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Pregunta 1 de 5
¿Cuál es el vértice de y = (x − 3)² + 2?
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