Matemáticas
¿Cuál es la fórmula de las ecuaciones de segundo grado y cómo se usa?
Respuesta rápida
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0. La fórmula general x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a la resuelve siempre, y b² − 4ac indica cuántas soluciones hay.
En una frase
Una ecuación de segundo grado tiene un término en x², como x² − 5x + 6 = 0, y se resuelve factorizando, despejando la raíz cuadrada o con la fórmula general.
Explicación
Una ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) es cualquier ecuación que se puede escribir como
ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0.
El mayor exponente de la x es 2: por eso es «de segundo grado». Los números a, b y c son los coeficientes; a c se le llama también término independiente. En 3x² + 2x − 8 = 0, a = 3, b = 2 y c = −8. A diferencia de las ecuaciones de primer grado, una de segundo grado suele tener dos soluciones (también llamadas raíces).
pelota
cohete
puente
¿Por qué dos? Piensa en una pelota lanzada hacia arriba. Su altura sigue una curva llamada parábola. Si preguntas «¿cuándo está a 15 m de altura?», hay dos respuestas: una al subir y otra al bajar. En una gráfica, las soluciones de ax² + bx + c = 0 son los puntos donde la parábola y = ax² + bx + c corta al eje X, así que puedes verlas con coordenadas.
Hay tres formas principales de resolverlas:
- Incompletas sin término en x (b = 0): se despeja x². x² = 49 da x = 7 o x = −7. No olvides la solución negativa.
- Factorizando, cuando la ecuación se descompone en dos paréntesis: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. Un producto solo es cero si un factor es cero, así que x = 2 o x = 3. Las incompletas sin término independiente (c = 0) se factorizan sacando x factor común: x² − 4x = x(x − 4).
- La fórmula general, que sirve para todas, aunque no se puedan factorizar:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Dicho en voz alta: «x es igual a menos b, más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a c, todo partido por dos a». El ± significa que haces la cuenta dos veces, una con + y otra con −, para obtener las dos soluciones. En México se la conoce cariñosamente como «la chicharronera».
La expresión de dentro de la raíz, Δ = b² − 4ac, se llama discriminante. Te dice cuántas soluciones reales hay antes de terminar:
- Δ > 0: dos soluciones distintas (la parábola corta dos veces al eje X).
- Δ = 0: una solución doble (la parábola solo toca el eje).
- Δ < 0: ninguna solución real, porque los números negativos no tienen raíz cuadrada real (la parábola no llega al eje).
Ejemplos
| Ecuación | a, b, c | b² − 4ac | Soluciones |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1, −5, 6 | 25 − 24 = 1 | x = 2 o x = 3 |
| x² − 6x + 9 = 0 | 1, −6, 9 | 36 − 36 = 0 | x = 3 (doble) |
| 2x² + 3x − 2 = 0 | 2, 3, −2 | 9 + 16 = 25 | x = ½ o x = −2 |
| x² + 2x + 5 = 0 | 1, 2, 5 | 4 − 20 = −16 | sin solución real |
| x² − 2x − 1 = 0 | 1, −2, −1 | 4 + 4 = 8 | x = 1 ± √2 |
Ejemplo resuelto: resuelve 2x² − 7x + 3 = 0 con la fórmula. a = 2, b = −7, c = 3. El discriminante es (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25, y √25 = 5. Entonces x = (7 ± 5) / 4, que da x = 12 / 4 = 3 o x = 2 / 4 = ½. Comprobación: 2 · 3² − 7 · 3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0. ✓
Errores frecuentes
- Perder el signo de b. Si b = −7, entonces −b = +7. Escribe el paréntesis: −(−7) = 7.
- Elevar mal un negativo al cuadrado. (−7)² = 49, no −49. En la calculadora, escribe (−7)² con paréntesis; −7² da −49.
- Dividir entre 2a solo una parte. Todo el numerador, −b ± √(b² − 4ac), se divide entre 2a, no solo la raíz.
- No igualar a cero primero. En x² = 3x + 4, pasa todo a un lado, x² − 3x − 4 = 0, antes de leer a, b y c.
- Dividir entre x y perder una solución. En x² = 5x, si divides entre x solo te queda x = 5. Saca factor común: x(x − 5) = 0, así que x = 0 o x = 5.
Paso a paso
Paso a paso
- Ordena la ecuaciónPasa todo a un lado para que quede ax² + bx + c = 0.
- Identifica a, b y cCon sus signos. Si no hay término en x, b = 0; si no hay término independiente, c = 0.
- Calcula el discriminanteΔ = b² − 4ac. Si es negativo, para: no hay soluciones reales.
- Aplica la fórmulaX = (−b ± √Δ) / 2a. Hazlo una vez con + y otra con −.
- CompruebaSustituye cada solución en la ecuación original. En un problema, mira también que tenga sentido (una longitud no puede ser negativa).
Si los números son pequeños, prueba antes a factorizar: busca dos números que multiplicados den c y sumados den b (para x² + 5x + 6, son 2 y 3). Si no los encuentras enseguida, pasa a la fórmula.
Ejercicios de práctica
Resuelve las ecuaciones de segundo grado
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Resuelve x² = 49.
Ver respuesta
x = 7 o x = −7 - Resuelve x² − 16 = 0.
Ver respuesta
x² = 16, así que x = 4 o x = −4 - Resuelve (x − 3)(x + 5) = 0.
Ver respuesta
x = 3 o x = −5 - Resuelve x² + 5x + 6 = 0.
Ver respuesta
(x + 2)(x + 3) = 0, así que x = −2 o x = −3 - Resuelve x² − 7x + 12 = 0.
Ver respuesta
(x − 3)(x − 4) = 0, así que x = 3 o x = 4 - Resuelve x² − 4x = 0.
Ver respuesta
x(x − 4) = 0, así que x = 0 o x = 4 - Resuelve x² + 2x − 15 = 0.
Ver respuesta
(x + 5)(x − 3) = 0, así que x = −5 o x = 3 - Resuelve 2x² − 8 = 0.
Ver respuesta
2x² = 8, x² = 4, así que x = 2 o x = −2 - ¿Cuántas soluciones reales tiene x² + 3x + 7 = 0?
Ver respuesta
Δ = 9 − 28 = −19 < 0, así que ninguna - Resuelve 2x² + 5x − 3 = 0 con la fórmula.
Ver respuesta
Δ = 25 + 24 = 49; x = (−5 ± 7) / 4, así que x = ½ o x = −3 - Resuelve 3x² − 10x + 3 = 0.
Ver respuesta
Δ = 100 − 36 = 64; x = (10 ± 8) / 6, así que x = 3 o x = ⅓ - Resuelve x² − 6x + 9 = 0.
Ver respuesta
Δ = 36 − 36 = 0; (x − 3)² = 0, así que x = 3 (doble) - Resuelve x² + 4x + 1 = 0 de forma exacta.
Ver respuesta
Δ = 16 − 4 = 12; x = (−4 ± √12) / 2 = (−4 ± 2√3) / 2, así que x = −2 ± √3 - Resuelve x² − 3x − 5 = 0 con 2 decimales.
Ver respuesta
Δ = 9 + 20 = 29; x = (3 ± √29) / 2, así que x ≈ 4,19 o x ≈ −1,19 - Resuelve x² = 3x + 10.
Ver respuesta
x² − 3x − 10 = 0, (x − 5)(x + 2) = 0, así que x = 5 o x = −2 - ¿Para qué valor de k tiene x² + 6x + k = 0 una sola solución?
Ver respuesta
El discriminante debe ser 0: 36 − 4k = 0, así que k = 9
Problemas
Ecuaciones de segundo grado en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Un rectángulo mide 3 m más de largo que de ancho y su área es 40 m². ¿Cuánto mide de ancho?
Ver respuesta
x(x + 3) = 40, x² + 3x − 40 = 0, (x + 8)(x − 5) = 0. Un ancho no puede ser negativo, así que mide 5 m de ancho (y 8 m de largo) - Se lanza una pelota hacia arriba. Su altura tras t segundos es h = 20t − 5t² metros. ¿Cuándo cae al suelo?
Ver respuesta
20t − 5t² = 0, 5t(4 − t) = 0, así que t = 0 (el lanzamiento) o t = 4 segundos - Con la misma pelota, ¿cuándo está a 15 m del suelo?
Ver respuesta
20t − 5t² = 15, así que 5t² − 20t + 15 = 0, t² − 4t + 3 = 0, (t − 1)(t − 3) = 0: al cabo de 1 s (subiendo) y de 3 s (bajando) - Dos números enteros consecutivos multiplicados dan 132. ¿Cuáles son?
Ver respuesta
n(n + 1) = 132, n² + n − 132 = 0, (n + 12)(n − 11) = 0, así que 11 y 12 (o −12 y −11) - A una foto cuadrada se le pone un marco de 2 cm de ancho alrededor. Con el marco ocupa 196 cm². ¿Cuánto mide la foto?
Ver respuesta
(x + 4)² = 196, así que x + 4 = 14 (una longitud es positiva) y la foto mide 10 cm por 10 cm
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de las ecuaciones de segundo grado?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Se llama fórmula general y da las soluciones de cualquier ecuación ax² + bx + c = 0.
¿Para qué sirve la fórmula general?
Para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sobre todo las que no se pueden factorizar, y para saber dónde corta una parábola al eje X. En la vida real aparece al calcular áreas, trayectorias de objetos lanzados, distancias de frenado o algunos beneficios en economía.
¿Qué es el discriminante?
Es Δ = b² − 4ac, lo que va dentro de la raíz. Si es positivo hay dos soluciones reales, si es cero hay una doble y si es negativo no hay ninguna real.
¿Cómo se demuestra la fórmula de segundo grado?
Completando el cuadrado. Divide ax² + bx + c = 0 entre a: x² + (b/a)x = −c/a. Suma (b/2a)² a los dos lados: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Saca la raíz: x + b/2a = ±√(b² − 4ac)/2a. Resta b/2a y llegas a x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
¿Quién creó la fórmula de segundo grado?
Nadie la inventó de una vez. Los babilonios ya resolvían problemas de este tipo hace unos 4000 años, el matemático indio Brahmagupta dio una regla en palabras en el siglo VII y al-Juarismi explicó en el siglo IX cómo completar el cuadrado. La fórmula escrita con letras llegó con el álgebra simbólica de los siglos XVI y XVII.
¿Cómo se llama la fórmula de segundo grado?
En España se dice «fórmula general» o «fórmula de la ecuación de segundo grado»; en México es muy popular el nombre «la chicharronera». En inglés es la quadratic formula.
¿Cuándo es mejor factorizar que usar la fórmula?
Factorizar es más rápido si las soluciones son números enteros o fracciones sencillas, y en las incompletas casi siempre basta con despejar o sacar factor común. Usa la fórmula si no ves los factores en unos segundos o si el discriminante no es un cuadrado perfecto.
Test rápido
Ecuaciones de segundo grado y la fórmula general
Comprueba lo que sabes con 5 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 5
En 2x² − 5x + 3 = 0, ¿cuánto valen a, b y c?
A practicar
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Temas relacionados
Ecuaciones
Una ecuación dice que dos cosas son iguales mediante el signo =, como 2x + 1 = 9. Resolverla es hallar el valor de la letra que la hace verdadera; aquí, x = 4.
Álgebra
El álgebra es la parte de las matemáticas que usa letras, como x o n, para representar números que aún no conocemos o que pueden cambiar. Si n + 3 = 10, entonces n = 7.
Raíces cuadradas
La raíz cuadrada de un número es el valor que, multiplicado por sí mismo, da ese número. La raíz cuadrada de 25 es 5, porque 5 × 5 = 25. El signo es √.
Coordenadas
Las coordenadas son una pareja de números que da una posición exacta en una cuadrícula, como (3, 5). El primero dice cuánto hay que avanzar (x) y el segundo cuánto subir (y).
Completar el cuadrado (completar cuadrados)
Completar el cuadrado es escribir x² + bx + c como (x + b/2)² − (b/2)² + c. Sirve para resolver ecuaciones de segundo grado, hallar el vértice de la parábola y deducir la fórmula general.
La fórmula general y el discriminante
La fórmula general x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a resuelve cualquier ecuación ax² + bx + c = 0. El discriminante, Δ = b² − 4ac, indica si hay dos, una o ninguna solución real.