¿Cómo se usa la fórmula general y qué indica el discriminante?

Toda ecuación de segundo grado se puede escribir como ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. La fórmula general la resuelve de una vez:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Se lee así: «x es igual a menos b, más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a c, todo ello partido por dos a». El signo ± significa que se calcula dos veces, una con + y otra con −, y así salen las dos soluciones, x₁ y x₂. En la página de ecuaciones de segundo grado se compara la fórmula con otros métodos; aquí la desmontamos pieza a pieza.

Las dos mitades de la fórmula. Si separas la fracción en dos partes:

x = −b/2a ± √(b² − 4ac)/2a

La primera parte, −b/2a, es la abscisa del vértice de la parábola y = ax² + bx + c, el centro de la curva. La segunda parte es la distancia de cada solución a ese centro, una vez hacia la derecha y otra hacia la izquierda. Por eso las dos soluciones son simétricas respecto al vértice y por eso siempre suman −b/a.

El discriminante. La expresión que va dentro de la raíz, Δ = b² − 4ac, se llama discriminante (Δ es la letra griega delta). «Discrimina» entre los casos posibles antes de terminar la cuenta:

• Δ > 0: dos soluciones reales distintas. La parábola corta el eje X dos veces. Si además Δ es un cuadrado perfecto (1, 4, 9, 16…) y a, b, c son enteros, las soluciones son enteras o fracciones, y la ecuación también se podría factorizar. Si no, las soluciones llevan raíces, como 2 ± √3.
• Δ = 0: una solución doble, x = −b/2a. La parábola solo toca el eje X en su vértice.
• Δ < 0: ninguna solución real, porque un número negativo no tiene raíz cuadrada real. La parábola no llega al eje X. (Más adelante, con los números complejos, estas ecuaciones sí tienen solución.)

De dónde sale la fórmula. Es lo que se obtiene al completar el cuadrado en ax² + bx + c = 0. Divide entre a, pasa c/a al otro lado y suma (b/2a)² en los dos miembros: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Saca la raíz cuadrada con ± y resta b/2a. El resultado es la fórmula general. No es magia: es completar el cuadrado una sola vez, para todas las ecuaciones a la vez.

Una comprobación rápida. Para cualquier ecuación con soluciones x₁ y x₂: x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a. Al terminar, suma y multiplica tus soluciones. Si no coinciden, busca un error de signo.

¿Qué es el discriminante y cómo se calcula?#

Es Δ = b² − 4ac, la expresión que está dentro de la raíz en la fórmula general. Se leen a, b y c en ax² + bx + c = 0 y se calcula. Su signo indica el número de soluciones reales: positivo, dos; cero, una; negativo, ninguna.

¿Qué pasa si el discriminante es igual a 0?#

La ecuación tiene una única solución (doble), x = −b/2a, y la parábola toca el eje X justo en su vértice. Por ejemplo, x² − 10x + 25 = 0 tiene Δ = 0 y la solución x = 5.

¿Qué significa un discriminante negativo?#

Que la ecuación no tiene soluciones reales, porque no existe la raíz cuadrada real de un número negativo. En la gráfica, la parábola queda entera por encima o por debajo del eje X.

¿Para qué sirve la fórmula general?#

Para resolver cualquier ecuación de segundo grado, también las que no se factorizan, y para hallar dónde corta una parábola al eje X. En física sirve, por ejemplo, para calcular cuándo cae al suelo un objeto lanzado.

¿Cómo se pone la fórmula general en la calculadora?#

Calcula primero el discriminante y apúntalo. Después teclea (−b + √Δ) ÷ (2a) y (−b − √Δ) ÷ (2a), con paréntesis en todo el numerador y en todo el denominador. Muchas calculadoras científicas tienen un modo de ecuaciones que resuelve ax² + bx + c = 0 directamente: úsalo para comprobar, no para saltarte el desarrollo.

¿Cómo se llama la fórmula en otros países?#

La fórmula es la misma en todas partes, pero cambia el nombre. En Brasil se llama «fórmula de Bhaskara», por el matemático indio Bhāskara II (siglo XII), aunque las ecuaciones de segundo grado se resolvían mucho antes; en Alemania, «Mitternachtsformel» (fórmula de medianoche); en inglés, «quadratic formula».