Matemáticas
¿Cómo se calculan los puntos de corte con los ejes y la ordenada en el origen?
Respuesta rápida
Para el corte con el eje Y (la ordenada en el origen) se hace x = 0; para el corte con el eje X, y = 0. En y = 2x − 6 los puntos de corte son (0; −6) y (3; 0).
En una frase
Los puntos de corte con los ejes son los puntos donde una gráfica cruza el eje Y (su ordenada en el origen) y el eje X (sus raíces o ceros).
Explicación
Imagina una gráfica dibujada sobre unos ejes de coordenadas. Al pasar, la recta o la curva suele cortar los dos ejes. Esos puntos son los puntos de corte, y casi siempre son lo primero que se dibuja al representar una función.
mapa
regla
lápiz
Todo el tema se apoya en una idea: todos los puntos del eje Y tienen x = 0, y todos los puntos del eje X tienen y = 0. Por tanto:
- Corte con el eje Y: haz x = 0 y calcula y. El punto es (0; y).
- Corte con el eje X: haz y = 0 y despeja x. El punto es (x; 0).
Rectas. En la forma explícita y = mx + n, el número n es la ordenada en el origen (el corte con el eje Y) y m es la pendiente. La ordenada en el origen es, por tanto, un valor de y, no de x. Al hacer y = 0 queda 0 = mx + n, así que el corte con el eje X está en x = −n/m. En y = 2x − 6, la ordenada en el origen es −6, el punto (0; −6), y el corte con el eje X es x = 6/2 = 3, el punto (3; 0).
Si la recta viene en forma general, Ax + By = C, tapa una letra cada vez. En 2x + 3y = 12: con x = 0, 3y = 12, así que (0; 4); con y = 0, 2x = 12, así que (6; 0). Dos casos especiales: una recta horizontal como y = 4 no corta nunca el eje X, y una vertical como x = 3 no corta nunca el eje Y.
Parábolas. En y = ax² + bx + c, el corte con el eje Y es siempre (0; c). Los cortes con el eje X son las soluciones de ax² + bx + c = 0, que se hallan factorizando, completando el cuadrado o con la fórmula general. Una parábola puede cortar el eje X en dos, uno o ningún punto. En la forma canónica y = a(x − h)² + k se hace y = 0 y se saca la raíz: en y = (x − 1)² − 9, (x − 1)² = 9, x − 1 = ±3, así que x = 4 o x = −2.
Otras funciones. La regla no cambia. En una función racional como y = (x − 2)/(x + 1), el corte con el eje X está donde se anula el numerador (x = 2), siempre que el denominador no se anule ahí. Una función puede tener muchos cortes con el eje X, pero como mucho uno con el eje Y, porque a cada x le corresponde una sola y.
Qué significan. En los problemas reales, la ordenada en el origen suele ser el valor inicial: la bajada de bandera de un taxi, el dinero ahorrado al empezar, la batería llena. El corte con el eje X suele indicar cuándo algo se acaba o llega al suelo: el momento en que un depósito se vacía o un balón cae.
Ejemplos
| Función | Corte con el eje Y (x = 0) | Corte(s) con el eje X (y = 0) |
|---|---|---|
| y = 2x − 6 | (0; −6) | 2x = 6: (3; 0) |
| y = −3x + 9 | (0; 9) | 3x = 9: (3; 0) |
| 2x + 5y = 10 | 5y = 10: (0; 2) | 2x = 10: (5; 0) |
| y = 4 | (0; 4) | ninguno (recta horizontal) |
| y = x² − x − 6 | (0; −6) | (x − 3)(x + 2) = 0: (3; 0) y (−2; 0) |
| y = (x − 1)² − 9 | 1 − 9 = −8: (0; −8) | x − 1 = ±3: (4; 0) y (−2; 0) |
| y = (x − 2)/(x + 1) | −2/1: (0; −2) | el numerador se anula en x = 2: (2; 0) |
Ejemplo resuelto: una recta pasa por (1; 5) y (3; 9). Halla sus puntos de corte. La pendiente es (9 − 5)/(3 − 1) = 4/2 = 2, así que y = 2x + n. Con el punto (1; 5): 5 = 2 + n, luego n = 3 y la ordenada en el origen es (0; 3). Con y = 0: 0 = 2x + 3, x = −1,5, y el corte con el eje X es (−1,5; 0).
Errores frecuentes
- Cambiar el cero de sitio. El corte con el eje X tiene y = 0: es (3; 0), no (0; 3). Repite: «en el eje X, la y vale cero».
- Confundir la pendiente con la ordenada en el origen. En y = 3x + 5, la ordenada en el origen es 5, no 3.
- Leer mal una ecuación desordenada. En y = 7 − 2x, la ordenada en el origen es 7 y la pendiente es −2. Si ayuda, escríbela como y = −2x + 7.
- Esperar siempre dos cortes en una parábola. Mira antes el discriminante b² − 4ac: puede haber dos, uno o ninguno.
- Tomar un valor que anula el denominador. En y = (x − 2)/(x + 1), x = −1 no está permitido, así que nunca puede ser un punto de corte.
Paso a paso
Paso a paso
- Eje Y: haz x = 0Sustituye x por 0 y calcula y. El punto es (0; y).
- Eje X: haz y = 0Iguala la función a cero.
- Despeja xEn una recta, despeja. En una parábola, factoriza, saca raíces o usa la fórmula general. En una fracción, anula el numerador (pero no el denominador).
- Escribe los puntosCada corte con el eje X es un punto (x; 0). Puede haber ninguno, uno o varios.
- Comprueba con un dibujoMarca los puntos. ¿Encajan con la forma que esperas (recta, ∪ o ∩)?
Ejercicios de práctica
Halla los puntos de corte
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Halla la ordenada en el origen de y = 4x − 7.
Ver respuesta
(0; −7) - Halla el corte con el eje X de y = 4x − 8.
Ver respuesta
0 = 4x − 8, x = 2: (2; 0) - Halla los cortes con los ejes de y = −2x + 6.
Ver respuesta
(0; 6) y, de 2x = 6, (3; 0) - Halla los cortes con los ejes de y = 5x.
Ver respuesta
Los dos son (0; 0): la recta pasa por el origen - Halla los cortes con los ejes de 3x + 4y = 12.
Ver respuesta
x = 0 da y = 3: (0; 3); y = 0 da x = 4: (4; 0) - Halla los cortes con los ejes de y = ½x + 2.
Ver respuesta
(0; 2); 0 = ½x + 2 da x = −4: (−4; 0) - Halla los cortes con los ejes de la recta x = −5.
Ver respuesta
Eje X en (−5; 0) y ningún corte con el eje Y (recta vertical) - Una recta tiene pendiente 3 y pasa por (2; 1). Halla su ordenada en el origen.
Ver respuesta
1 = 3 · 2 + n, así que n = −5: (0; −5) - Halla los cortes con los ejes de la recta que pasa por (−1; 4) y (3; −4).
Ver respuesta
Pendiente = −8/4 = −2; 4 = 2 + n, n = 2: (0; 2); 0 = −2x + 2: (1; 0) - Halla los cortes con los ejes de y = x² − 9.
Ver respuesta
(0; −9); x² = 9: (3; 0) y (−3; 0) - Halla los cortes con los ejes de y = x² + 2x − 8.
Ver respuesta
(0; −8); (x + 4)(x − 2) = 0: (−4; 0) y (2; 0) - Halla los cortes con los ejes de y = x² − 6x + 9.
Ver respuesta
(0; 9); (x − 3)² = 0: solo (3; 0), donde la parábola toca el eje - Halla los cortes con los ejes de y = x² + 2x + 5.
Ver respuesta
(0; 5); b² − 4ac = 4 − 20 = −16 < 0: ningún corte con el eje X - Halla los cortes con los ejes de y = 2x² − 3x − 2.
Ver respuesta
(0; −2); (2x + 1)(x − 2) = 0: (−½; 0) y (2; 0) - Halla los cortes con los ejes de y = (x + 1)² − 4.
Ver respuesta
x = 0: 1 − 4 = −3, (0; −3); x + 1 = ±2: (1; 0) y (−3; 0) - Halla los cortes con los ejes de y = (x − 3)/(x + 2).
Ver respuesta
x = 0: −3/2, (0; −3/2); el numerador se anula en x = 3: (3; 0)
Problemas
Los puntos de corte en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Un taxi cuesta C = 1,2d + 4 euros por d kilómetros. ¿Cuál es la ordenada en el origen y qué significa?
Ver respuesta
d = 0 da C = 4: (0; 4), 4 € de bajada de bandera antes de recorrer nada - A una batería le queda B = 100 − 8t por ciento después de t horas. ¿Cuándo se agota?
Ver respuesta
100 − 8t = 0, t = 12,5: a las 12,5 horas - Un depósito tiene V = 600 − 40t litros tras t minutos vaciándose. Halla los dos cortes y explica qué significan.
Ver respuesta
(0; 600): empieza con 600 litros; 40t = 600 da (15; 0): se vacía a los 15 minutos - La altura de un balón es h = −5t² + 20t metros a los t segundos. Halla los cortes con el eje t.
Ver respuesta
−5t(t − 4) = 0: t = 0 (se lanza) y t = 4 s (cae al suelo) - Los ahorros de Lucía son S = 15s + 30 euros al cabo de s semanas. Halla los dos cortes. ¿Tienen sentido los dos?
Ver respuesta
(0; 30): empieza con 30 €. 15s = −30 da (−2; 0): dos semanas antes de empezar, así que en esta situación no tiene sentido
Preguntas frecuentes
¿Qué es la ordenada en el origen de una recta?
Es el valor de y cuando x = 0, es decir, la altura a la que la recta corta el eje Y. En y = mx + n es el número n. En y = 3x − 2, la ordenada en el origen es −2 y el punto de corte es (0; −2).
¿La ordenada en el origen es x o y?
Es un valor de y. «Ordenada» es el nombre de la coordenada y, y «en el origen» indica que se toma en x = 0. Su pareja en el eje X es la abscisa del corte, que se obtiene con y = 0.
¿Cómo se calcula la ordenada en el origen con dos puntos?
Halla la pendiente m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Sustituye uno de los puntos en y = mx + n y despeja n.
¿Cómo se saca el punto de corte con el eje X?
Iguala la función a cero (y = 0) y despeja x. En una recta y = mx + n sale x = −n/m; en una función cuadrática hay que resolver la ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0.
¿Puede una gráfica cortar el eje Y dos veces?
Una función no: a x = 0 le corresponde una sola y. Una circunferencia, que no es una función, sí puede cortarlo dos veces.
¿Qué unidades tiene la ordenada en el origen?
Las mismas que la variable y. Si y es el precio en euros, la ordenada en el origen está en euros; si es una altura en metros, está en metros.
Test rápido
Puntos de corte con los ejes y ordenada en el origen
Comprueba lo que sabes con 5 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 5
¿Cuál es el punto de corte con el eje Y de y = 3x + 5?
A practicar
Pruébalo
Practica las gráficas de rectas con ejercicios ilimitados
Fichas de álgebra
Practícalo paso a paso en un curso completo: Matemáticas · 3º de ESO
Para adultos
Temas relacionados
Pendiente de una recta
La pendiente mide lo inclinada que está una recta: es lo que sube dividido entre lo que avanza, m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Puede ser positiva, negativa, cero o no estar definida.
Coordenadas
Las coordenadas son una pareja de números que da una posición exacta en una cuadrícula, como (3, 5). El primero dice cuánto hay que avanzar (x) y el segundo cuánto subir (y).
Gráficos de líneas
Un gráfico de líneas muestra cómo cambia algo con el tiempo. Se marcan puntos en una cuadrícula y se unen con una línea, así se ven de un vistazo las subidas, las bajadas y los patrones.
La fórmula general y el discriminante
La fórmula general x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a resuelve cualquier ecuación ax² + bx + c = 0. El discriminante, Δ = b² − 4ac, indica si hay dos, una o ninguna solución real.
Álgebra
El álgebra es la parte de las matemáticas que usa letras, como x o n, para representar números que aún no conocemos o que pueden cambiar. Si n + 3 = 10, entonces n = 7.
Completar el cuadrado (completar cuadrados)
Completar el cuadrado es escribir x² + bx + c como (x + b/2)² − (b/2)² + c. Sirve para resolver ecuaciones de segundo grado, hallar el vértice de la parábola y deducir la fórmula general.