¿Qué es una función compuesta y cómo se calcula f(g(x))?

Imagina dos máquinas de funciones seguidas en una cinta transportadora. La primera, g, multiplica por 2. La segunda, f, suma 3. Metes un 4: g lo convierte en 8 y f convierte el 8 en 11. La cadena entera es una función nueva, la función compuesta, que transforma el 4 en 11.

Esta cadena se escribe f(g(x)), que se lee «f de g de x», o con el símbolo de composición (f ∘ g)(x). Ojo con la lectura: muchos libros españoles leen g ∘ f como «f compuesta con g», nombrando primero la función que actúa primero, y otros lo leen al revés. Lo que no cambia es el significado: en f(g(x)) actúa primero g y después f. La función más cercana a la x es la primera, igual que cuando resuelves primero el paréntesis de dentro.

Hay dos tipos de ejercicio.

1. Con un número. Se trabaja de dentro hacia fuera. Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², entonces f(g(3)) significa g(3) = 9 primero, y luego f(9) = 19.

2. Con una expresión. Se mete g(x) entera dentro de f, en lugar de cada x, entre paréntesis. f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1. Comprobación con 3: 2 · 9 + 1 = 19, como antes.

El orden importa. g(f(x)) significa f primero: g(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1, y g(f(3)) = 7² = 49, no 19. En general, la composición no es conmutativa: f ∘ g y g ∘ f suelen ser funciones distintas.

Cuidado con el dominio. Lo que sale de la función de dentro tiene que poder entrar en la de fuera. Con f(x) = √x y g(x) = x − 3, f(g(x)) = √(x − 3) solo existe para x ≥ 3, porque no hay raíz cuadrada real de un número negativo.

Las funciones compuestas también se leen al revés. Ver que h(x) = (3x + 1)⁵ es «primero 3x + 1 y luego elevar a la quinta» se llama descomponer la función, y es la clave de la regla de la cadena para derivar. Una función y su inversa forman una pareja especial: f(f⁻¹(x)) = x, porque la segunda máquina deshace la primera.

Para descomponer una función, pregúntate «¿qué le pasa primero a la x?». En h(x) = √(x² + 9), primero se eleva al cuadrado y se suma 9, así que g(x) = x² + 9, y después se hace la raíz, así que f(x) = √x.

¿Qué es una función compuesta, explicado fácil?#

Es una función que se obtiene aplicando una función y después otra. El resultado de la primera se mete directamente en la segunda.

¿Cómo se leen las funciones compuestas?#

f(g(x)) se lee «f de g de x». Con el símbolo ∘, (f ∘ g)(x) significa lo mismo: primero g y después f. Al leerlo en voz alta, fíjate en cómo lo dice tu libro, porque el orden de las palabras cambia de un texto a otro.

¿Cómo se resuelven funciones compuestas paso a paso?#

Calcula primero la función de dentro y luego aplica la de fuera a ese resultado. Si te piden la expresión, sustituye g(x) entre paréntesis en cada x de f y simplifica.

¿Es lo mismo f(g(x)) que g(f(x))?#

Casi nunca. Con f(x) = x + 1 y g(x) = x², f(g(x)) = x² + 1 pero g(f(x)) = (x + 1)² = x² + 2x + 1. Solo coinciden en casos especiales, como una función y su inversa.

¿Cómo se calcula el dominio de una función compuesta?#

Parte del dominio de la función de dentro, g, y quita los valores de x cuya imagen g(x) no puede entrar en f. Con f(x) = 1/x y g(x) = x − 2 hay que quitar x = 2, porque g(2) = 0.

¿Cómo se derivan funciones compuestas?#

Con la regla de la cadena: la derivada de f(g(x)) es f′(g(x)) · g′(x). Para (3x + 1)⁵ sale 5(3x + 1)⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴.

¿Qué relación hay entre funciones compuestas e inversas?#

Componer una función con su inversa la deshace: f(f⁻¹(x)) = x. Y la inversa de una compuesta invierte el orden: (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹, igual que te quitas primero los zapatos y luego los calcetines.