¿Qué es una inecuación y cómo se resuelve?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Una inecuación dice que no lo son y cuál es mayor. Las ves todos los días: «altura mínima 120 cm para subir a la atracción», «velocidad máxima 30 km/h», «menores de 4 años, gratis».

Hay cuatro símbolos principales:

Truco: la boca abierta del símbolo mira siempre al número mayor, y la rayita de abajo de ≤ y ≥ significa «o igual».

Cuando no hay letras, como en 3 < 7, se habla de **desigualdad**. Cuando hay una incógnita, como en x + 2 > 5, es una inecuación. Una ecuación como x + 2 = 5 tiene una solución, x = 3. La inecuación x + 2 > 5 tiene infinitas: 3,1; 4; 10; un millón… Por eso la solución también se escribe como desigualdad, x > 3, o como intervalo: (3, +∞).

Las soluciones se representan en la recta numérica:

• Punto vacío (abierto) para < y >: el número no está incluido. En el intervalo se usa paréntesis: (3, +∞).
• Punto relleno (cerrado) para ≤ y ≥: el número sí está incluido. Se usa corchete: (−∞, 5].
• Después se marca la parte de la recta donde están las soluciones.

Resolver una inecuación de primer grado es casi igual que resolver una ecuación: puedes sumar, restar, multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo número. Hay una regla extra muy importante: si multiplicas o divides los dos miembros por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia de sentido. El motivo: 2 < 5 es cierto, pero si multiplicas por −1 obtienes −2 y −5, y en la recta −2 está a la *derecha* de −5, así que −2 > −5. El orden se invierte, y el signo también. Por eso los números negativos piden cuidado aquí.

Una inecuación doble como −2 < x ≤ 4 significa que x está entre −2 y 4: mayor que −2 y como mucho 4. Es el intervalo (−2, 4].

En una inecuación doble como −3 < 2x + 1 ≤ 9, haz lo mismo en las tres partes a la vez: resta 1 y queda −4 < 2x ≤ 8; divide entre 2 y queda −2 < x ≤ 4.

¿Qué es una inecuación en matemáticas?#

Es una desigualdad con una o más incógnitas, que usa <, >, ≤ o ≥ en lugar de =. Por ejemplo, x + 1 > 4 dice «x más 1 es mayor que 4», y se cumple para todo x mayor que 3.

¿Qué diferencia hay entre inecuación y desigualdad?#

Una desigualdad compara dos cantidades, como 3 < 7 (es verdadera o falsa). Una inecuación es una desigualdad con letras, como 2x > 6, y resolverla es encontrar los valores que la hacen verdadera (x > 3). En muchos países de Latinoamérica se dice «desigualdades» para las dos cosas.

¿Cómo se resuelven las inecuaciones paso a paso?#

Igual que una ecuación: quita paréntesis, agrupa las x en un miembro y despeja. La única diferencia es que, si multiplicas o divides por un número negativo, el signo cambia de sentido. Al final, escribe la solución como desigualdad o como intervalo.

¿Cómo saber si el intervalo es abierto o cerrado?#

Mira el signo. Con < o > el extremo no está incluido: intervalo abierto, con paréntesis y punto vacío. Con ≤ o ≥ el extremo sí está incluido: intervalo cerrado, con corchete y punto relleno. El infinito siempre lleva paréntesis.

¿Cómo se resuelven las inecuaciones de segundo grado?#

Pasa todo a un lado, halla las raíces y estudia el signo en cada trozo de la recta. Para x² − 4 < 0, las raíces son −2 y 2; la parábola queda por debajo del eje entre ellas, así que la solución es −2 < x < 2, el intervalo (−2, 2).

¿Cómo se resuelven las inecuaciones con valor absoluto?#

|x| < 3 significa que x está a menos de 3 del cero: −3 < x < 3. |x| > 3 significa que está a más de 3: x < −3 o x > 3. Para |x − 1| < 3, resuelve −3 < x − 1 < 3 y obtienes −2 < x < 4.