¿Qué es la función inversa y cómo se calcula?

Piensa en una función como una máquina. f(x) = 2x + 1 coge el 3, lo multiplica por 2 (6), le suma 1 y da 7. La máquina inversa funciona al revés: coge el 7, le resta 1 (6), lo divide entre 2 y devuelve el 3. Cada paso se deshace, y en orden contrario, igual que te quitas primero los zapatos y luego los calcetines.

La inversa de f se escribe f⁻¹(x) y se lee «f inversa de x». A veces se llama también función recíproca. Ojo: el −1 no es un exponente, y f⁻¹(x) no significa 1/f(x).

Para calcularla, se usa el método de intercambiar:

1. Escribe y = f(x), por ejemplo y = 2x + 1.
2. Intercambia x e y: x = 2y + 1.
3. Despeja y: x − 1 = 2y, así que y = (x − 1)/2.

Por tanto, f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Comprobación: f(3) = 7 y f⁻¹(7) = 6/2 = 3. En general, (f ∘ f⁻¹)(x) = x y (f⁻¹ ∘ f)(x) = x: al componer una función con su inversa se obtiene la identidad, es decir, vuelves a donde empezaste.

En la gráfica, intercambiar x e y convierte cada punto (a, b) en (b, a). Eso es una simetría respecto de la bisectriz y = x. Si (3, 7) está en la gráfica de f, entonces (7, 3) está en la de f⁻¹.

No todas las funciones tienen inversa. f(x) = x² lleva el 3 y el −3 al 9, así que la inversa no sabría a cuál volver. Solo tienen inversa las funciones inyectivas: cada imagen viene de un único valor. En la gráfica, si una recta horizontal corta la curva más de una vez, no es inyectiva. La solución es restringir el dominio: para x ≥ 0, f(x) = x² es inyectiva y su inversa es f⁻¹(x) = √x.

Además, el dominio de f⁻¹ es el recorrido de f, y el recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Ya conoces varias parejas famosas: x² y √x (para x ≥ 0), x³ y ∛x, 10ˣ y log x (mira los logaritmos), eˣ y ln x, y sen x y arcsen x en un dominio restringido.

Con una cuadrática, restringe antes el dominio. f(x) = (x − 3)² + 1 con x ≥ 3: intercambiando, x = (y − 3)² + 1, así que (y − 3)² = x − 1 e y = 3 + √(x − 1). Se toma la raíz positiva porque y ≥ 3. Por tanto, f⁻¹(x) = 3 + √(x − 1) para x ≥ 1. Comprobación: f(4) = 2 y f⁻¹(2) = 3 + 1 = 4.

¿Qué es una función inversa, en palabras sencillas?#

Es la función que deshace a otra. Si f convierte el 3 en 7, la inversa convierte el 7 en 3. Aplicar f y luego f⁻¹ te devuelve al punto de partida.

¿Cómo se calcula la función inversa?#

Escribe y = f(x), intercambia x e y, y despeja y. Lo que obtienes es f⁻¹(x). Compruébalo siempre con un número.

¿Cómo se comprueba que dos funciones son inversas?#

Compón las dos en ambos órdenes: si (f ∘ g)(x) = x y (g ∘ f)(x) = x, son inversas. Con f(x) = 2x + 1 y g(x) = (x − 1)/2 sale x las dos veces.

¿Cómo se grafica una función inversa?#

Refleja la gráfica de f respecto de la recta y = x: cada punto (a, b) pasa a (b, a). En GeoGebra puedes dibujar f y la recta y = x para ver la simetría, y el comando Inversa(f) dibuja la inversa directamente.

¿Todas las funciones tienen inversa?#

No. Solo las inyectivas, las que no repiten ninguna imagen. Otras, como x², tienen inversa si se restringe el dominio.

¿Qué son las funciones trigonométricas inversas?#

arcsen, arccos y arctg dan el ángulo a partir de una razón trigonométrica: arcsen 0,5 = 30°. Como el seno se repite, se usa un dominio restringido. En la calculadora aparecen como sin⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹, normalmente con la tecla SHIFT.

¿Qué relación hay entre la exponencial y el logaritmo?#

Son funciones inversas: y = 10ˣ y y = log x se deshacen una a otra, igual que eˣ y ln x. Por eso sus gráficas son simétricas respecto de y = x.

¿Cómo se deriva una función inversa?#

En Bachillerato se usa (f⁻¹)′(x) = 1/f′(f⁻¹(x)). Para f(x) = x³, f⁻¹(8) = 2 y f′(2) = 12, así que la derivada de ∛x en x = 8 es 1/12.