¿Qué es un logaritmo y cómo se calcula?

Ya sabes calcular «2 elevado a 3» (da 8). Un logaritmo hace la pregunta al revés: «¿2 elevado a qué exponente da 8?». Esa pregunta se escribe log₂ 8, se lee «logaritmo en base 2 de 8» y su resultado es 3. La definición es:

log_b x = y significa exactamente lo mismo que b^y = x

El número pequeño b es la base (positiva y distinta de 1), x es el argumento (tiene que ser positivo) y el resultado y es un exponente. Si dominas las potencias, ya sabes casi todo: logaritmos y potencias son dos formas de escribir el mismo hecho, y el logaritmo «deshace» la potencia igual que la resta deshace la suma.

Hay dos bases con tecla propia en la calculadora. log (sin base escrita) es la base 10, el logaritmo decimal: log 1000 = 3 porque 10³ = 1000. ln es la base e, el logaritmo neperiano o natural, donde e ≈ 2,718 es un número especial que aparece en el crecimiento, el interés compuesto y el cálculo. ln e = 1 por la misma razón que log 10 = 1.

¿Para qué sirven? Para convertir rangos enormes en números manejables. log 10 = 1, log 1 000 000 = 6, log 1 000 000 000 = 9. Cada paso de 1 significa «diez veces más». Así funciona la escala de pH (un pH 3 es diez veces más ácido que un pH 4), así funcionan los decibelios (cada 10 dB más es diez veces más intensidad) y por eso es fácil comparar números grandes en notación científica: el exponente de 10 es, más o menos, el logaritmo decimal.

Los logaritmos también convierten productos en sumas. En 1614 el matemático escocés John Napier (Neper en español, de ahí «neperiano») publicó las primeras tablas de logaritmos, y poco después Henry Briggs hizo las de base 10. Durante más de 300 años, científicos e ingenieros multiplicaban números grandes buscando sus logaritmos en una tabla, sumándolos y buscando el resultado de vuelta. Las reglas de cálculo funcionaban igual.

Por último, los logaritmos son la herramienta para resolver ecuaciones exponenciales, en las que la incógnita está en el exponente, como 3^x = 20. Con el álgebra normal no puedes bajar la x de ahí; con un logaritmo, sí.

Para simplificar varios logaritmos, primero usa la propiedad de la potencia para subir al exponente los números que van delante, y después junta todo en un solo logaritmo con las propiedades del producto y del cociente. Por ejemplo, 2 log 5 + log 4 = log 25 + log 4 = log 100 = 2.

¿Qué es un logaritmo, explicado fácil?#

Es el exponente que necesitas. log₁₀ 100 = 2 porque hay que elevar 10 a 2 para obtener 100. Un logaritmo es un exponente escrito al revés.

¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos?#

Las tres principales son la del producto, log (M · N) = log M + log N; la del cociente, log (M : N) = log M − log N; y la de la potencia, log (Mᵏ) = k · log M. Con log_b b = 1, log_b 1 = 0 y el cambio de base puedes resolver casi cualquier ejercicio de ESO y Bachillerato.

¿Qué es ln y qué son los logaritmos neperianos?#

ln es el logaritmo neperiano o natural, el que tiene base e ≈ 2,718. ln e = 1 y ln 1 = 0. El nombre viene de John Napier (Neper), el inventor de los logaritmos.

¿Cómo se lee un logaritmo?#

log₂ 8 se lee «logaritmo en base 2 de 8». log 50, sin base, se lee «logaritmo de 50» o «logaritmo decimal de 50», y ln 50, «logaritmo neperiano de 50».

¿Cómo se calculan logaritmos con la calculadora?#

Para base 10 pulsa log y para base e pulsa ln. Para cualquier otra base usa el cambio de base: log₂ 50 = log 50 : log 2 ≈ 5,64. Muchas calculadoras científicas tienen además una tecla de logaritmo con un hueco para la base.

¿Qué relación hay entre logaritmos y exponenciales?#

Son funciones inversas. y = log_b x deshace y = bˣ, así que sus gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Por eso los logaritmos sirven para resolver ecuaciones exponenciales.

¿Qué es una tabla de logaritmos?#

Un libro de valores de logaritmos que se usaba antes de las calculadoras. Para multiplicar dos números grandes se buscaban sus logaritmos, se sumaban y se buscaba el resultado en la tabla de antilogaritmos.