Matemáticas
¿Qué son las potencias y los exponentes?
Respuesta rápida
Una potencia es una expresión con un número pequeño elevado, el exponente, que indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Así, 2⁴ significa 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
En una frase
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de un número por sí mismo: la base es el número que se multiplica y el exponente indica cuántas veces aparece como factor. Así, 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
Explicación
¿Qué son las potencias y los exponentes? Explicado fácil
Escribir 3 × 3 × 3 × 3 × 3 cansa. En su lugar escribimos 3⁵ y lo leemos «tres elevado a cinco» o «tres a la quinta».
| Parte | En 3⁵ | Qué significa |
|---|---|---|
| Base | 3 | el número que se multiplica |
| Exponente | 5 | cuántas veces aparece la base como factor |
| Potencia | 3⁵ = 243 | la expresión completa (y su resultado) |
Algunos exponentes tienen nombre propio:
- 4² = 4 × 4 = 16 se lee «cuatro al cuadrado» (mira los números cuadrados).
- 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 se lee «cuatro al cubo».
- 4⁴ = 256 se lee «cuatro a la cuarta».
¡Ojo! El exponente no multiplica a la base: 4³ no es 4 × 3 = 12, sino 64.
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Las potencias crecen muy deprisa
Dobla una hoja de papel por la mitad y tendrá 2 capas de grosor. Dóblala otra vez: 4. Tras 10 dobleces tendría 2¹⁰ = 1024 capas. Ese duplicar es la razón por la que los ordenadores cuentan con potencias de 2 (1 kilobyte era tradicionalmente 2¹⁰ = 1024 bytes).
Potencias de 10
Las potencias de 10 están ligadas al valor posicional: el exponente dice cuántos ceros hay detrás del 1.
| Potencia | Valor |
|---|---|
| 10¹ | 10 |
| 10² | 100 |
| 10³ | 1000 |
| 10⁶ | 1 000 000 (un millón) |
| 10⁻¹ | 0,1 |
| 10⁻³ | 0,001 |
Gracias a ellas existe la notación científica, que escribe números enormes o diminutos de forma corta: 300 000 = 3 × 10⁵.
El signo de la base
Si la base es negativa, el exponente decide el signo:
- Exponente par → resultado positivo: (−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16.
- Exponente impar → resultado negativo: (−2)³ = −8.
Propiedades de las potencias
Las reglas del producto y del cociente solo funcionan cuando las potencias tienen la misma base:
| Regla | En símbolos | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto: se suman los exponentes | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| Cociente: se restan los exponentes | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ |
| Potencia de una potencia: se multiplican | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (3²)³ = 3⁶ |
| Potencia de un producto | (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ | (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 1000 |
| Exponente cero | a⁰ = 1 (si a ≠ 0) | 9⁰ = 1 |
| Exponente negativo: el inverso | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 |
¿Por qué 9⁰ = 1? Mira el patrón 9³ = 729, 9² = 81, 9¹ = 9. En cada paso se divide entre 9. Un paso más da 9 ÷ 9 = 1. Y si sigues dividiendo, llegas a 9⁻¹ = 1/9: así se explican los exponentes negativos.
En secundaria también aparecen los exponentes fraccionarios, que son raíces: 25^(1/2) = √25 = 5, porque 5² = 25 (mira las raíces cuadradas).
Las potencias van pronto en el orden de las operaciones: primero paréntesis, después potencias y luego multiplicaciones y sumas. En 2 + 3², haz primero la potencia y obtendrás 2 + 9 = 11.
Ejemplos
- 6² = 36
- 2³ = 8
- 1⁵⁰ = 1
- (−2)³ = −8
- 3 × 10⁵ = 300 000
- x² × x³ = x⁵
Ejemplo resuelto 1. Simplifica 2⁵ × 2³ ÷ 2⁴. Producto: 2⁵ × 2³ = 2⁸. Cociente: 2⁸ ÷ 2⁴ = 2⁴. Resultado: 2⁴ = 16.
Ejemplo resuelto 2. Calcula (3²)³ × 3⁻⁴. Potencia de una potencia: (3²)³ = 3⁶. Producto: 3⁶ × 3⁻⁴ = 3². Resultado: 9.
Ejemplo resuelto 3. Calcula 5⁻². Exponente negativo: 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04.
Errores frecuentes
- Multiplicar la base por el exponente. 3⁴ es 81, no 12.
- Sumar los exponentes cuando las bases son distintas. 2³ × 5² no se puede combinar en una sola potencia: se calcula 8 × 25 = 200.
- Olvidar los paréntesis con números negativos. −3² significa −(3²) = −9, pero (−3)² = 9. Los paréntesis importan.
- Pensar que un exponente negativo da un número negativo. 2⁻³ = 1/8, que es positivo.
- Repartir la potencia en una suma. (2 + 3)² = 5² = 25, no 2² + 3² = 13.
Test rápido
Potencias y exponentes
Comprueba lo que sabes con 5 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 5
¿Cuánto es 2⁵?
A practicar
Pruébalo
Practica con estas preguntas. Las soluciones están debajo.
- Calcula 2⁶.
- ¿Cuánto vale 7⁰?
- Escribe como una sola potencia: 5⁴ × 5³.
- Calcula (−2)⁴.
- Calcula 4⁻² y escríbelo como fracción.
Soluciones: 1) 64. 2) 1. 3) 5⁷. 4) 16 (exponente par, resultado positivo). 5) 1/4² = 1/16.
Práctica de potencias y exponentes
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Para adultos
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