Matemáticas
¿Qué son los números al cubo y la raíz cúbica, y cómo se saca una raíz cúbica?
Respuesta rápida
Elevar un número al cubo es multiplicarlo tres veces por sí mismo, como 4³ = 4 × 4 × 4 = 64. La raíz cúbica deshace la operación, así que ∛64 = 4.
En una frase
Un número al cubo es el resultado de multiplicar un número tres veces por sí mismo, y la raíz cúbica te devuelve el número del que partiste.
Explicación
Construye un cubo con bloques de construcción. Si mide 2 bloques de largo, 2 de ancho y 2 de alto, usa 2 × 2 × 2 = 8 bloques. Un cubo de 3 bloques por lado usa 3 × 3 × 3 = 27. De ahí viene el nombre: los cubos perfectos son los números de bloques que forman cubos exactos, igual que los cuadrados perfectos forman cuadrados.
bloques
caja
regla
El cubo se escribe con un 3 pequeño, el exponente: n³ = n × n × n, que se lee «n al cubo». Así, 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Es también el volumen de un cubo de arista n: un cubo de 5 cm de arista tiene 125 cm³.
La raíz cúbica hace el camino contrario. Responde a la pregunta «¿qué número, elevado al cubo, da este?». Su símbolo es la raíz con un 3 pequeño, el índice: ∛.
Si n³ = x, entonces ∛x = n. Por ejemplo, 4³ = 64, así que ∛64 = 4.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
| n | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1331 | 1728 | 2197 | 2744 | 3375 | 4096 | 4913 | 5832 | 6859 | 8000 |
Algunas cosas hacen que los cubos sean distintos de los cuadrados:
- Números negativos. Tres signos menos multiplicados dan menos, así que (−3)³ = −27. Por eso un número negativo tiene raíz cúbica: ∛(−27) = −3. (Un número negativo no tiene raíz cuadrada entre los números reales.)
- Una sola respuesta. 25 tiene dos raíces cuadradas, 5 y −5, pero 125 tiene una sola raíz cúbica, 5.
- Fracciones y decimales. (1/2)³ = 1/8 y 0,2³ = 0,008. Al elevar al cubo un número entre 0 y 1, se hace más pequeño.
La mayoría de los números no son cubos perfectos, así que su raíz cúbica no es exacta: ∛3 ≈ 1,442 y ∛50 ≈ 3,684. Siempre puedes estimarla: 50 está entre 27 (3³) y 64 (4³), así que ∛50 está entre 3 y 4. El cubo es un caso de las potencias, y la raíz cúbica es prima hermana de la raíz cuadrada.
Ejemplos
- 7³ = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343
- (−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = 16 × (−4) = −64
- ∛216 = 6, porque 6 × 6 × 6 = 216
- ∛1000 = 10 y ∛1 000 000 = 100
- (2/3)³ = (2 × 2 × 2) : (3 × 3 × 3) = 8/27
- Dos patrones curiosos: 1 = 1³, 3 + 5 = 8 = 2³, 7 + 9 + 11 = 27 = 3³ (grupos de impares), y 1³ + 2³ + 3³ = 36 = (1 + 2 + 3)².
Errores frecuentes
- Multiplicar por 3 en vez de elevar al cubo. 4³ es 4 × 4 × 4 = 64, no 4 × 3 = 12.
- Quedarse en dos factores. 5 × 5 = 25 es 5², no 5³. Solución: escribe los tres cincos.
- Creer que ∛(−8) no existe. Es −2, porque (−2)³ = −8.
- Elevar al cubo una suma por partes. (2 + 3)³ = 5³ = 125, pero 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35. Primero se suma y luego se eleva.
Paso a paso
Paso a paso
- Mira la última cifraCada cifra del 0 al 9 da una última cifra distinta al elevarla al cubo: 1→1, 2→8, 3→7, 4→4, 5→5, 6→6, 7→3, 8→2, 9→9, 0→0. Así, la última cifra de un cubo perfecto te dice la última cifra de su raíz.
- Tapa las tres últimas cifrasMira lo que queda. En 13 824 queda 13.
- Busca la cifra de las decenasEncuentra el mayor cubo que no pase de lo que queda: 2³ = 8 ≤ 13 < 27, así que la cifra de las decenas es 2.
- Júntalo13 824 termina en 4, así que la raíz termina en 4: ∛13 824 = 24.
- Comprueba24 × 24 × 24 = 576 × 24 = 13 824.
Este truco solo funciona con cubos perfectos (de hasta 6 cifras). Para los demás números, estima entre dos cubos o usa la calculadora: en una científica, pulsa la tecla ∛ (a menudo SHIFT y luego √) o eleva el número a (1 : 3). En una hoja de cálculo, =POTENCIA(A1;1/3) hace lo mismo.
Ejercicios de práctica
Números al cubo y raíz cúbica
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Calcula 3³.
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3 × 3 × 3 = 27 - Calcula 6³.
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6 × 6 × 6 = 36 × 6 = 216 - Calcula 10³.
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1000 - Calcula ∛8.
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2 × 2 × 2 = 8, así que 2 - Calcula ∛343.
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7 × 7 × 7 = 343, así que 7 - Calcula ∛729.
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9 × 9 × 9 = 729, así que 9 - Calcula (−5)³.
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(−5) × (−5) × (−5) = 25 × (−5) = −125 - Calcula ∛(−64).
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(−4)³ = −64, así que −4 - Calcula 0,2³.
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0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008 - Calcula (2/3)³.
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8 : 27 = 8/27 - ¿Es 100 un cubo perfecto?
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4³ = 64 y 5³ = 125, así que no. - ¿Entre qué dos números enteros está ∛50?
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3³ = 27 y 4³ = 64, así que entre 3 y 4 (unos 3,68). - Calcula ∛1728.
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12 × 12 × 12 = 1728, así que 12 - Calcula ∛4096.
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16 × 16 × 16 = 4096, así que 16 - Calcula ∛13 824 sin calculadora.
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Termina en 4, así que la raíz termina en 4; 13 está entre 2³ y 3³, así que 24. - ¿Qué es mayor, 2³ + 3³ o (2 + 3)³?
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8 + 27 = 35 y 5³ = 125, así que (2 + 3)³ es mayor.
Problemas
Cubos en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Una caja con forma de cubo tiene un volumen de 1000 cm³. ¿Cuánto mide cada arista?
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∛1000 = 10 cm - Se construye un cubo grande con cubitos, 3 en cada arista. ¿Cuántos cubitos se usan?
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3³ = 27 - Un depósito de agua con forma de cubo tiene 2 m de arista. ¿Cuántos litros caben? (1 m³ = 1000 litros)
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2³ = 8 m³, así que 8000 litros - Un cubito de hielo tiene un volumen de 27 cm³. ¿Cuánto mide cada arista?
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∛27 = 3 cm - Un cubo de madera de 5 cm de arista se pinta por fuera y luego se corta en cubitos de 1 cm. ¿Cuántos cubitos no tienen nada de pintura?
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Los que no están pintados forman un cubo de 3 × 3 × 3 en el interior: 27 - La arista de un cubo pasa de 3 cm a 6 cm. ¿Cuántas veces mayor es su volumen?
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216 : 27 = 8 veces (2³ = 8)
Preguntas frecuentes
¿Qué es la raíz cúbica en matemáticas?
Es el número que, multiplicado tres veces por sí mismo, da el número de partida. La raíz cúbica de 27 es 3, porque 3 × 3 × 3 = 27.
¿Cuáles son los números al cubo del 1 al 15?
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744 y 3375. Las tablas de arriba llegan hasta 20³ = 8000.
¿Cuál es la raíz cúbica de 64, 125, 216 y 343?
∛64 = 4, ∛125 = 5, ∛216 = 6 y ∛343 = 7. Cada una, elevada al cubo, devuelve el número.
¿Cómo se saca una raíz cúbica sin calculadora?
Si es un cubo perfecto, usa la última cifra para hallar las unidades de la raíz y tapa las tres últimas cifras para hallar las decenas. Si no lo es, busca entre qué dos cubos está y estima.
¿Cómo se saca la raíz cúbica en la calculadora del móvil?
En muchos móviles, al girar la calculadora en horizontal aparecen las funciones científicas, con una tecla ∛ o xʸ. Con xʸ, escribe el número, pulsa xʸ y eleva a (1 : 3).
¿Cómo se elevan al cubo los números negativos?
Igual que los positivos, pero el resultado es negativo: (−2)³ = −8 y (−10)³ = −1000. Por eso ∛(−1000) = −10.
¿Cuál es la raíz cúbica de 9 y de 3?
No son exactas: ∛9 ≈ 2,080 y ∛3 ≈ 1,442. Sus decimales nunca terminan ni se repiten.
¿Cómo se escribe el ³ en el ordenador?
En Word puedes usar el formato de superíndice. En Windows, también funciona mantener pulsada la tecla Alt y teclear 0179 en el teclado numérico.
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Números al cubo y raíz cúbica
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