Matemáticas
¿Qué es el inverso de un número y cómo se calcula?
Respuesta rápida
El inverso (o inverso multiplicativo) de un número es 1 dividido entre ese número, así que los dos multiplicados dan 1. Para una fracción, se le da la vuelta: el inverso de 3/4 es 4/3.
En una frase
El inverso de un número es aquel por el que hay que multiplicarlo para obtener 1: en una fracción, basta con darle la vuelta.
Explicación
Corta una pizza en 8 porciones iguales. Cada porción es 1/8 de la pizza, y 8 porciones forman una pizza entera. Es decir, 8 · 1/8 = 1. Los números 8 y 1/8 son inversos el uno del otro.
pizza
taza
regla
La regla es corta:
inverso de x = 1 ÷ x, y x · (1/x) = 1 (para cualquier número x distinto de 0)
Su nombre completo es inverso multiplicativo, porque deshace una multiplicación; también se llama recíproco. En la calculadora se obtiene con la tecla 1/x o x⁻¹: el exponente −1 significa «uno partido por». (Mira las potencias.)
Cómo calcularlo depende de cómo esté escrito el número:
- Una fracción: se intercambian numerador y denominador. El inverso de 2/7 es 7/2.
- Un número entero: se escribe sobre 1 y se le da la vuelta. 5 = 5/1, así que su inverso es 1/5.
- Una fracción unitaria: el inverso de 1/9 es 9/1 = 9.
- Un número mixto: primero se pasa a fracción impropia y luego se le da la vuelta. 2 ½ = 5/2, así que el inverso es 2/5.
- Un decimal: se pasa a fracción, o se calcula 1 ÷ el decimal. 0,25 = 1/4, así que su inverso es 4.
- Un número negativo: se mantiene el signo menos. El inverso de −3 es −1/3, porque (−3) · (−1/3) = +1.
Dos casos especiales: el 0 no tiene inverso (ningún número por 0 da 1, y no se puede dividir entre cero), y el 1 y el −1 son inversos de sí mismos. Si das la vuelta dos veces, vuelves al principio: el inverso del inverso de 3/5 es otra vez 3/5.
Los números grandes tienen inversos pequeños, y al revés. El inverso de 100 es 0,01 y el inverso de 0,01 es 100. Un número entre 0 y 1 siempre tiene un inverso mayor que 1.
Su uso más habitual es dividir fracciones: dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su inverso. 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8. Es exactamente lo que hace la regla de «multiplicar en cruz» que se enseña en España. Más en división de fracciones.
Ejemplos
| Número | Como fracción | Inverso | Comprobación |
|---|---|---|---|
| 6 | 6/1 | 1/6 | 6 · 1/6 = 1 |
| 3/8 | 3/8 | 8/3 (= 2 ⅔) | 3/8 · 8/3 = 24/24 = 1 |
| 1/10 | 1/10 | 10 | 1/10 · 10 = 1 |
| 1 ¾ | 7/4 | 4/7 | 7/4 · 4/7 = 1 |
| 0,5 | 1/2 | 2 | 0,5 · 2 = 1 |
| 0,2 | 1/5 | 5 | 0,2 · 5 = 1 |
| −2/9 | −2/9 | −9/2 | (−2/9) · (−9/2) = 1 |
| 1 | 1/1 | 1 | 1 · 1 = 1 |
| 0 | – | no tiene | – |
Ejemplo resuelto: calcula el inverso de 3 ⅓. Como fracción impropia, 3 ⅓ = (3 · 3 + 1)/3 = 10/3. Le damos la vuelta: 3/10, que es 0,3. Comprobación: 10/3 · 3/10 = 30/30 = 1.
Errores frecuentes
- Dar la vuelta solo a la parte fraccionaria de un número mixto. El inverso de 2 ½ no es «2 y 2/1». Primero conviértelo: 2 ½ = 5/2, y su inverso es 2/5.
- Cambiar el signo. El inverso de −4 es −1/4, no 1/4. Un número y su inverso siempre tienen el mismo signo.
- Confundir inverso y opuesto. Los inversos multiplicados dan 1 (5 y 1/5). Los opuestos, o inversos aditivos, sumados dan 0 (5 y −5).
- Dar la vuelta a la fracción equivocada al dividir. En 2/3 ÷ 4/5 se deja igual la primera y solo se invierte el divisor: 2/3 · 5/4.
Paso a paso
Paso a paso
- Escríbelo como fracciónEntero: ponlo sobre 1. Número mixto: pásalo a fracción impropia. Decimal: escríbelo como fracción.
- Dale la vueltaIntercambia numerador y denominador.
- Conserva el signoSi el número era negativo, su inverso también lo es.
- SimplificaDeja el resultado como fracción irreducible, o como entero o número mixto si lo prefieres.
- CompruebaMultiplica el número por tu resultado. Tiene que dar exactamente 1.
Con un decimal como 1,25 también puedes dividir: 1 ÷ 1,25 = 0,8. O por fracciones: 1,25 = 5/4, y su inverso es 4/5 = 0,8.
Ejercicios de práctica
Calcula el inverso
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- ¿Cuál es el inverso de 7?
Ver respuesta
7 = 7/1, dado la vuelta: 1/7 - ¿Cuál es el inverso de 1/9?
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1/9 dado la vuelta es 9/1: 9 - ¿Cuál es el inverso de 3/8?
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8/3 (= 2 ⅔) - ¿Cuál es el inverso de 2 ½?
Ver respuesta
2 ½ = 5/2, dado la vuelta: 2/5 - ¿Cuál es el inverso de 0,5?
Ver respuesta
0,5 = 1/2, dado la vuelta: 2 - ¿Cuál es el inverso de 0,25?
Ver respuesta
0,25 = 1/4, dado la vuelta: 4 - ¿Cuál es el inverso de −6?
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Se conserva el signo: −1/6 - ¿Cuál es el inverso de −2/3?
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Se da la vuelta y se conserva el signo: −3/2 (= −1 ½) - ¿Cuál es el inverso de 1?
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1 · 1 = 1, así que es 1 - ¿Cuál es el inverso de 1,25?
Ver respuesta
1,25 = 5/4, dado la vuelta: 4/5 = 0,8 - ¿Cuál es el inverso de 3 ¼?
Ver respuesta
3 ¼ = 13/4, dado la vuelta: 4/13 - Calcula 3/4 · 4/3.
Ver respuesta
12/12 = 1 (son inversos) - Calcula 2/3 ÷ 4/5 usando el inverso.
Ver respuesta
2/3 · 5/4 = 10/12 = 5/6 - Calcula 6 ÷ 3/4.
Ver respuesta
6 · 4/3 = 24/3 = 8 - ¿Cuál es el inverso opuesto (el «inverso negativo») de 5/2?
Ver respuesta
Se da la vuelta y se cambia el signo: −2/5 - ¿Qué número no tiene inverso, y por qué?
Ver respuesta
El 0, porque ningún número multiplicado por 0 da 1 (1 ÷ 0 no está definido).
Problemas
El inverso en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro se llenan con 6 litros de zumo?
Ver respuesta
6 ÷ 3/4 = 6 · 4/3 = 8 botellas - Una cinta mide 5 m. ¿Cuántos trozos de 2/3 m se pueden cortar?
Ver respuesta
5 ÷ 2/3 = 5 · 3/2 = 7,5, así que 7 trozos enteros (y sobra 1/3 m) - Una hornada de galletas lleva 1/4 kg de harina. ¿Cuántas hornadas salen con 3 kg?
Ver respuesta
3 ÷ 1/4 = 3 · 4 = 12 hornadas - Una recta tiene pendiente 2/3. ¿Qué pendiente tiene una recta perpendicular a ella?
Ver respuesta
El inverso cambiado de signo: −3/2 - Dos resistencias de 6 ohmios se conectan en paralelo, así que 1/R = 1/6 + 1/6. ¿Cuánto vale la resistencia total R?
Ver respuesta
1/R = 2/6 = 1/3, así que R es el inverso de 1/3: 3 ohmios
Preguntas frecuentes
¿Qué es el inverso de un número?
Es 1 dividido entre ese número. Un número por su inverso siempre da 1: el inverso de 4 es 1/4, y el de 2/3 es 3/2.
¿Qué diferencia hay entre el inverso aditivo y el inverso multiplicativo?
El inverso aditivo (u opuesto) de 5 es −5, porque 5 + (−5) = 0. El inverso multiplicativo (o recíproco) de 5 es 1/5, porque 5 · 1/5 = 1. Cuando se dice solo «inverso», casi siempre se habla del multiplicativo.
¿Cuál es el inverso de un número entero?
Se escribe sobre 1 y se le da la vuelta: el inverso de 12 es 1/12. Es una fracción, no un entero, salvo para 1 y −1.
¿Cuál es el inverso de un número negativo?
También es negativo. El inverso de −5 es −1/5, porque menos por menos da más: (−5) · (−1/5) = 1.
¿Cómo se saca el inverso en la calculadora o en Excel?
En la calculadora, escribe el número y pulsa la tecla x⁻¹ (o 1/x), o calcula 1 ÷ el número. En una hoja de cálculo, escribe =1/A1 para el inverso del valor de la celda A1.
¿Tienen inverso los números racionales y los reales?
Sí, todos menos el 0. El inverso de un racional a/b (con a y b distintos de 0) es b/a. Y lo mismo pasa con cualquier número real distinto de 0: su inverso es 1/x.
¿Cómo se calcula el inverso de un número complejo?
Todo complejo distinto de 0 tiene inverso. Para a + bi es (a − bi) ÷ (a² + b²). Por ejemplo, 1/(3 + 4i) = (3 − 4i)/25. Se estudia en Bachillerato.
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Inverso de un número
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Pregunta 1 de 5
¿Cuál es el inverso de 5/6?
A practicar
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Dividir fracciones
Para dividir fracciones se multiplica en cruz, que es lo mismo que multiplicar la primera por la inversa de la segunda. 3/4 : 1/2 = (3 · 2)/(4 · 1) = 6/4 = 3/2.
Multiplicar fracciones
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, y luego se simplifica. No hace falta común denominador, 2/3 · 4/5 = 8/15.
Fracciones
Una fracción es una parte de un entero dividido en partes iguales. En ¾, el número de abajo dice en cuántas partes iguales se divide y el de arriba, cuántas tienes.
Fracciones impropias y números mixtos
Una fracción impropia tiene el numerador mayor que el denominador, como 7/4. Un número mixto muestra la misma cantidad como un entero más una fracción, como 1 3/4.
Sumar y restar fracciones
Para sumar o restar fracciones, primero deben tener el mismo denominador. Luego se suman o restan solo los numeradores y se deja el denominador. Por ejemplo, 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Comparar fracciones
Para comparar fracciones, mira si tienen el mismo denominador o el mismo numerador, o conviértelas a un denominador común. La fracción mayor es la que tiene más cantidad del entero.