¿Qué es la distribución normal y cómo se usa?

Pesa 1000 manzanas del mismo huerto. Unas pocas pesarán muy poco y otras muchísimo, pero la mayoría estarán cerca del peso medio. Si haces un histograma de los pesos con barras cada vez más estrechas, el contorno se convierte en una curva suave en forma de campana. Esa curva es la distribución normal, también llamada campana de Gauss o distribución gaussiana, por el matemático Carl Friedrich Gauss.

Una distribución normal queda definida por solo dos números:

• la media μ, que dice dónde está el centro de la campana;
• la desviación típica σ, que dice lo ancha que es (ver desviación típica).

En España se escribe normalmente X ~ N(μ, σ), con la desviación típica como segundo número. Ojo: en muchos libros en inglés el segundo número es la varianza σ², así que comprueba siempre cuál es.

Sus características:

• Es simétrica respecto a la media, así que media = mediana = moda.
• Es continua: la variable puede tomar cualquier valor real, no solo enteros. Por eso se calcula la probabilidad de un intervalo y no de un valor exacto: P(X = a) = 0.
• El área total bajo la curva es 1, y el área entre dos valores es la probabilidad de caer entre ellos.
• La curva nunca llega a tocar el eje horizontal, pero casi toda el área está a menos de 3σ de la media.

La regla 68-95-99,7 da estimaciones rápidas: cerca del 68 % de los datos está a menos de 1σ de la media, cerca del 95 % a menos de 2σ y cerca del 99,7 % a menos de 3σ.

Para cálculos exactos se tipifica. El valor z dice a cuántas desviaciones típicas está un dato de la media:

z = (x − μ) ÷ σ

Los valores z siguen la normal estándar (o tipificada) Z ~ N(0, 1), con media 0 y desviación típica 1. La tabla (o la calculadora) da Φ(z) = P(Z ≤ z), el área a la izquierda de z.

Para el camino inverso (hallar x a partir de una probabilidad), busca en la tabla la z que da esa área y usa x = μ + zσ.

¿Cuál es la fórmula de la distribución normal?#

La curva es f(x) = (1 ÷ (σ√(2π))) · e^(−(x − μ)² ÷ (2σ²)). En el instituto casi nunca se usa directamente: se tipifica con z = (x − μ) ÷ σ y se usa la tabla o la calculadora.

¿Cómo se lee la tabla de la normal?#

Busca z con 2 decimales: la fila da las unidades y la primera cifra decimal, y la columna la segunda. El número de dentro es Φ(z), la probabilidad de un valor menor que z. Para z = 1,23, ve a la fila 1,2 y a la columna 0,03.

¿La distribución normal es discreta o continua?#

Continua. Sirve para medidas como longitudes, masas o tiempos, que pueden tomar cualquier valor de un intervalo.

¿Es simétrica o asimétrica?#

Siempre simétrica respecto a su media. Si unos datos están claramente torcidos hacia un lado, el modelo normal no les va bien.

¿Cómo se calcula en la calculadora Casio?#

Entra en el menú de distribuciones y elige la normal acumulada (en muchos modelos aparece como «Normal CD»). Introduce el límite inferior, el superior, σ y μ; para "menor que 66" pon un límite inferior muy pequeño.

¿Cómo se calcula en Excel?#

=DISTR.NORM.N(x; media; desv; VERDADERO) da P(X ≤ x). =DISTR.NORM.ESTAND.N(z; VERDADERO) da Φ(z), e =INV.NORM(p; media; desv) hace el camino inverso.