Matemáticas
¿Qué es la probabilidad condicionada y cómo se calcula?
Respuesta rápida
La probabilidad condicionada es la probabilidad de un suceso A cuando ya sabes que ha ocurrido B. Se escribe P(A|B) y se calcula con P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B).
En una frase
La probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra algo cuando ya sabes que ha ocurrido otra cosa.
Explicación
Lanza un dado. La probabilidad de sacar un 6 es 1/6. Ahora un amigo mira el dado y te dice: «Ha salido par». De repente solo son posibles el 2, el 4 y el 6, y uno de esos tres es el 6. La probabilidad de sacar un 6 sabiendo que ha salido par es 1/3. El dado no ha cambiado; ha cambiado lo que sabes, y eso reduce la lista de resultados posibles.
bolsa
pelota
lluvia
Se escribe P(A|B) y se lee «probabilidad de A condicionada a B» o «probabilidad de A sabiendo B». En muchos libros de España también se escribe P(A/B): significa lo mismo. A es el suceso que te interesa y B es lo que ya sabes. La fórmula es:
P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B), siempre que P(B) no sea 0.
Dicho con palabras: de todas las veces que ocurre B, ¿qué fracción de ellas ocurre también A? Si trabajas con recuentos es aún más fácil: casos de A y B a la vez ÷ casos de B. Si dominas la probabilidad básica y las fracciones, ya tienes todo lo necesario.
Despejando sale la regla del producto, la que usas en un diagrama de árbol:
P(A∩B) = P(B) · P(A|B)
Las probabilidades de las segundas ramas de un árbol son condicionadas: suponen que la primera rama ya ha ocurrido. Por eso, en las extracciones «sin reemplazamiento», los números de las segundas ramas cambian.
Dos sucesos son independientes cuando saber que ha ocurrido uno no dice nada del otro. Entonces P(A|B) = P(A), y la regla del producto queda P(A∩B) = P(A) · P(B). Los lanzamientos de una moneda son independientes; sacar dos caramelos de una bolsa sin devolver el primero, no.
Cuidado con el orden: P(A|B) y P(B|A) suelen ser distintas. Casi todos los futbolistas corren rápido, pero casi nadie que corre rápido es futbolista. Pasar de una a la otra es el trabajo del teorema de Bayes: P(B|A) = P(A|B) · P(B) ÷ P(A).
Ejemplos
Una tabla de contingencia. Se pregunta a una clase de 30 alumnos por el deporte y la música:
| Toca un instrumento | No toca | Total | |
|---|---|---|---|
| Hace deporte | 8 | 10 | 18 |
| No hace deporte | 4 | 8 | 12 |
| Total | 12 | 18 | 30 |
- Probabilidad de que un alumno toque un instrumento sabiendo que hace deporte: miras solo la fila del deporte. 8 de 18, así que 8/18 = 4/9.
- Probabilidad de que haga deporte sabiendo que toca un instrumento: miras solo esa columna. 8 de 12, así que 8/12 = 2/3. No es lo mismo que 4/9: el orden importa.
Con la fórmula. P(A∩B) = 0,12 y P(B) = 0,4, así que P(A|B) = 0,12 ÷ 0,4 = 0,3.
Sin reemplazamiento. Una bolsa tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Sacas una, te la quedas, y sacas otra. Si la primera fue roja, quedan 4 rojas de 7, así que P(2.ª roja | 1.ª roja) = 4/7. La probabilidad de que las dos sean rojas es 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14.
Una prueba médica (datos inventados). Imagina que el 1 % de la población tiene una enfermedad. Una prueba detecta al 90 % de quienes la tienen, pero también da positivo en el 5 % de quienes no la tienen. Piensa en 10 000 personas: 100 están enfermas y 90 de ellas dan positivo; 9900 están sanas y el 5 % de ellas, 495 personas, también da positivo. En total dan positivo 90 + 495 = 585 personas, y P(enfermo | positivo) = 90 ÷ 585 = 2/13, alrededor del 15 %. Como la enfermedad es rara, la mayoría de los positivos son falsas alarmas; por eso un primer positivo se suele confirmar con otra prueba.
Errores frecuentes
- Cambiar el orden. P(A|B) no es P(B|A). Solución: dilo con palabras («la probabilidad de A entre los B») antes de calcular.
- Dividir entre el total equivocado. Con «sabiendo B», divide entre los casos (o la probabilidad) de B, no entre todo el grupo. En la clase de arriba es 8/18, no 8/30.
- Confundir «sabiendo» con «y». P(A∩B) es una parte de todo el grupo; P(A|B) es una parte solo de B. P(A∩B) nunca es mayor que P(A|B).
- No actualizar la segunda extracción. Sin reemplazamiento, bajan en uno tanto el total de bolas como las de ese color.
Paso a paso
Paso a paso
- Busca la condiciónFíjate en «sabiendo que», «si», «entre los que» o «dado que». Ese suceso es B.
- Halla el nuevo totalCuenta los casos de B o calcula P(B). Sustituye al grupo completo.
- Halla la intersecciónCuenta los casos que son a la vez A y B, o calcula P(A∩B).
- DivideP(A|B) = intersección ÷ nuevo total.
- CompruebaEl resultado debe estar entre 0 y 1. Compáralo con P(A): si coincide, A y B son independientes.
Ejercicios de práctica
Probabilidad condicionada
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Lanzas un dado. Calcula P(5 | impar).
Ver respuesta
Impares: 1, 3, 5 (3 casos). Uno es el 5: 1/3 - Lanzas un dado. Calcula P(par | mayor que 2).
Ver respuesta
Mayores que 2: 3, 4, 5, 6. Pares entre ellos: 4 y 6. 2/4 = 1/2 - Lanzas un dado. Calcula P(menor que 3 | par).
Ver respuesta
Pares: 2, 4, 6. Solo el 2 es menor que 3: 1/3 - P(A∩B) = 0,2 y P(B) = 0,5. Calcula P(A|B).
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0,2 ÷ 0,5 = 0,4 - P(A∩B) = 0,15 y P(A) = 0,6. Calcula P(B|A).
Ver respuesta
0,15 ÷ 0,6 = 0,25 - P(B) = 0,3 y P(A|B) = 0,5. Calcula P(A∩B).
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0,3 · 0,5 = 0,15 - Una bolsa tiene 4 fichas rojas y 6 verdes. Se sacan dos sin reemplazamiento. Calcula P(2.ª roja | 1.ª roja).
Ver respuesta
Quedan 3 rojas de 9: 3/9 = 1/3 - La misma bolsa. Calcula P(las dos rojas).
Ver respuesta
4/10 · 3/9 = 12/90 = 2/15 - La misma bolsa. Calcula P(2.ª roja | 1.ª verde).
Ver respuesta
Quedan 4 rojas de 9: 4/9 - Con la tabla de la clase, calcula P(deporte | no toca instrumento).
Ver respuesta
18 no tocan; 10 de ellos hacen deporte: 10/18 = 5/9 - Con la tabla, calcula P(no hace deporte | toca instrumento).
Ver respuesta
12 tocan; 4 de ellos no hacen deporte: 4/12 = 1/3 - P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A∩B) = 0,2. ¿Son independientes A y B?
Ver respuesta
0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A∩B), y P(A|B) = 0,2 ÷ 0,4 = 0,5 = P(A): sí - P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 y P(A∩B) = 0,1. ¿Son independientes?
Ver respuesta
0,3 · 0,6 = 0,18, que no es 0,1: no - Se lanzan dos monedas. Sabiendo que ha salido al menos una cara, calcula P(dos caras).
Ver respuesta
Con C = cara y X = cruz, al menos una cara: CC, CX, XC (3 casos). Dos caras: 1 de ellos: 1/3 - Se lanzan dos dados. Sabiendo que la suma es 8, calcula P(los dos muestran un 4).
Ver respuesta
Suma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), 5 casos. Solo vale (4,4): 1/5 - P(A|B) = 0,6, P(B) = 0,5 y P(A) = 0,4. Calcula P(B|A).
Ver respuesta
P(A∩B) = 0,5 · 0,6 = 0,3, así que P(B|A) = 0,3 ÷ 0,4 = 0,75
Problemas
Probabilidad condicionada en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- En un grupo de 40 alumnos, a 25 les gusta el fútbol, y a 10 de ellos también el baloncesto. Se elige al azar a un aficionado al fútbol. ¿Qué probabilidad hay de que le guste el baloncesto?
Ver respuesta
10 ÷ 25 = 2/5 (0,4) - La probabilidad de que llueva mañana es 0,3. Si llueve, la probabilidad de que el autobús llegue tarde es 0,4; si no llueve, es 0,1. ¿Qué probabilidad hay de que llueva y el autobús llegue tarde?
Ver respuesta
0,3 · 0,4 = 0,12 - Misma situación. ¿Qué probabilidad hay de que el autobús llegue tarde?
Ver respuesta
Lluvia y retraso: 0,12. Sin lluvia y retraso: 0,7 · 0,1 = 0,07. Total (probabilidad total): 0,19 - Misma situación. El autobús llegó tarde. ¿Qué probabilidad hay de que lloviera?
Ver respuesta
0,12 ÷ 0,19 = 12/19 ≈ 0,63 (teorema de Bayes) - Una docena de huevos tiene 3 rotos. Coges dos sin mirar. ¿Qué probabilidad hay de que el segundo esté roto, sabiendo que el primero lo estaba?
Ver respuesta
Quedan 2 rotos de 11: 2/11 - Una máquina revisa 2000 móviles, y el 5 % son defectuosos. Marca el 95 % de los defectuosos y, por error, el 4 % de los buenos. Un móvil sale marcado. ¿Qué probabilidad hay de que sea realmente defectuoso?
Ver respuesta
Defectuosos: 100, marcados 95. Buenos: 1900, marcados 76. 95 ÷ (95 + 76) = 95/171 = 5/9 ≈ 0,56
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la probabilidad condicionada?
P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B): la probabilidad de que ocurran los dos sucesos dividida entre la probabilidad del suceso que ya sabes que ha ocurrido. Con recuentos: casos de A y B ÷ casos de B.
¿Cómo se lee P(A|B)?
«Probabilidad de A condicionada a B» o «probabilidad de A sabiendo B». La barra significa «sabiendo que». El suceso que va detrás de la barra es el que ya ha ocurrido. P(A/B) es otra forma de escribir lo mismo.
¿Qué pasa con la probabilidad condicionada si los sucesos son independientes?
Que la condición no cambia nada: P(A|B) = P(A). Que una moneda salga cara sigue siendo 1/2, salga lo que saliera en el lanzamiento anterior.
¿Qué relación hay entre la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes?
La probabilidad condicionada es la idea y la fórmula básica. El teorema de Bayes, que se apoya en ella y en la probabilidad total, permite «dar la vuelta» a P(A|B) para obtener P(B|A). El ejemplo de la prueba médica es un cálculo de Bayes.
¿Cómo se usa un diagrama de árbol?
Pon el primer suceso en las primeras ramas y el segundo en las siguientes, con las probabilidades que valen una vez ocurrido el primero. Multiplica a lo largo de cada camino. Para una pregunta con «sabiendo que», divide el camino que buscas entre la suma de los caminos que cumplen la condición.
Test rápido
Probabilidad condicionada
Comprueba lo que sabes con 5 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 5
Lanzas un dado y te dicen que ha salido un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 4?
A practicar
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Fichas de probabilidad y estadística
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La probabilidad mide lo posible que es que algo ocurra, en una escala de 0 (imposible) a 1 (seguro). Que una moneda justa caiga cara tiene una probabilidad de 1/2.
Diagramas de Venn
Un diagrama de Venn usa círculos que se solapan para clasificar cosas en grupos. La zona común muestra lo que pertenece a ambos grupos, y el exterior, lo que no pertenece a ninguno.
Fracciones
Una fracción es una parte de un entero dividido en partes iguales. En ¾, el número de abajo dice en cuántas partes iguales se divide y el de arriba, cuántas tienes.
Porcentajes
Un porcentaje es un número sobre 100, que se escribe con el signo %. Así, 25 % significa 25 de cada 100, lo mismo que un cuarto.
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La distribución binomial
La distribución binomial B(n, p) da la probabilidad de k éxitos en n pruebas independientes con probabilidad de éxito p: P(X = k) = (n sobre k) pᵏ qⁿ⁻ᵏ, con q = 1 − p. Su media es np.