Matemáticas
¿Qué es la distribución binomial y cómo se usa su fórmula?
Respuesta rápida
La distribución binomial B(n, p) da la probabilidad de k éxitos en n pruebas independientes con probabilidad de éxito p: P(X = k) = (n sobre k) pᵏ qⁿ⁻ᵏ, con q = 1 − p. Su media es np.
En una frase
La distribución binomial te dice qué probabilidad hay de obtener exactamente 0, 1, 2… éxitos cuando repites el mismo experimento de sí o no un número fijo de veces.
Explicación
Una futbolista marca el 80 % de sus penaltis. Si tira 5 penaltis, ¿qué probabilidad hay de que marque exactamente 4? Cada penalti es una prueba con dos resultados: éxito (gol) o fracaso (fallo). El número de goles X puede valer 0, 1, 2, 3, 4 o 5, y la distribución binomial da la probabilidad de cada valor. Cada prueba de este tipo se llama prueba de Bernoulli, y la distribución binomial cuenta los éxitos de n pruebas de Bernoulli seguidas.
balón
flor
lámpara
Se puede usar cuando se cumplen cuatro condiciones:
- Dos resultados: cada prueba solo puede ser éxito o fracaso.
- Independencia: una prueba no influye en las demás.
- Número fijo de pruebas: n se conoce de antemano.
- Probabilidad constante: la probabilidad de éxito p es la misma en todas las pruebas.
Entonces se escribe X ~ B(n, p), que se lee «X sigue una binomial de parámetros n y p». La fórmula es
P(X = k) = (n sobre k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ, con q = 1 − p
Cada parte tiene su papel. pᵏ es la probabilidad de los k éxitos, qⁿ⁻ᵏ la de los n − k fracasos, y el número combinatorio (n sobre k) cuenta de cuántas formas distintas pueden ordenarse esos éxitos. En 5 penaltis con 4 goles, el fallo puede ser el 1.º, el 2.º, el 3.º, el 4.º o el 5.º, así que (5 sobre 4) = 5. Se calcula con la tecla nCr de la calculadora, con el triángulo de Tartaglia o con n! ÷ (k! · (n − k)!).
Así, P(X = 4) = 5 · 0,8⁴ · 0,2 = 5 · 0,4096 · 0,2 = 0,4096.
Tres datos más que se usan siempre:
- Media (esperanza): μ = np. De 5 penaltis, espera marcar 5 · 0,8 = 4 de media.
- Varianza: σ² = npq, y la desviación típica es σ = √(npq). Ver desviación típica.
- Probabilidad acumulada: P(X ≤ k) suma P(X = 0) hasta P(X = k). Las tablas y las calculadoras la dan directamente.
La distribución binomial es discreta: X solo toma valores enteros de 0 a n. Es simétrica cuando p = 0,5, asimétrica hacia la derecha cuando p es pequeño y hacia la izquierda cuando p está cerca de 1. Si n es grande y p no está muy cerca de 0 ni de 1, su forma se parece a la campana de la distribución normal.
Ejemplos
La distribución completa con 4 pruebas, para dos valores de p:
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| B(4; 0,5): P(X = k) | 0,0625 | 0,25 | 0,375 | 0,25 | 0,0625 |
| B(4; 0,2): P(X = k) | 0,4096 | 0,4096 | 0,1536 | 0,0256 | 0,0016 |
Cada fila suma 1. La primera es simétrica; la segunda es asimétrica, con casi toda la probabilidad en los valores pequeños.
Ejemplo resuelto: lanzas un dado 6 veces. ¿Qué probabilidad hay de sacar exactamente dos seises? Aquí n = 6, p = 1/6 y k = 2, con (6 sobre 2) = 15.
P(X = 2) = 15 · (1/6)² · (5/6)⁴ = 15 · 625 ÷ 46 656 = 9375 ÷ 46 656 ≈ 0,2009
Ejemplo resuelto, «al menos uno»: X ~ B(5; 0,2). P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,8⁵ = 1 − 0,32768 = 0,67232.
Errores frecuentes
- Olvidar el número combinatorio. 0,8⁴ · 0,2 es la probabilidad de un solo orden concreto. Corrección: multiplica por el número de órdenes posibles.
- Confundir «menos de» con «como mucho». P(X < 3) = P(X ≤ 2), pero P(X ≤ 3) incluye el 3. P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2). Corrección: escribe los valores de k que necesitas.
- Usarla cuando p cambia. Sacar cartas sin devolverlas cambia p cada vez: no es binomial (es hipergeométrica). Corrección: comprueba primero las cuatro condiciones.
- Confundir media y varianza. Corrección: la media es np; la varianza es npq, que nunca es mayor que la media.
Paso a paso
Paso a paso
- Comprueba las condicionesDos resultados, pruebas independientes, n fijo y p constante.
- Identifica n, p y kEscribe X ~ B(n, p) y el valor o valores de k que te piden.
- Elige la probabilidadExactamente k: la fórmula. Como mucho k: suma o usa la tabla. Al menos k: 1 − P(X ≤ k − 1).
- CalculaP(X = k) = (n sobre k) pᵏ qⁿ⁻ᵏ, o usa las funciones binomiales de la calculadora.
- Comprueba¿Está el resultado entre 0 y 1? ¿Es mayor cerca de la media np?
Ejercicios de práctica
La distribución binomial
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- ¿Es binomial «el número de seises en 20 lanzamientos de un dado»? Si lo es, da n y p.
Ver respuesta
Sí: dos resultados, lanzamientos independientes, n fijo y p constante. n = 20, p = 1/6 - ¿Es binomial «el número de cartas que sacas hasta que sale un as»?
Ver respuesta
No: el número de pruebas no es fijo. - X ~ B(4; 0,5). Halla P(X = 2).
Ver respuesta
(4 sobre 2) = 6, así que 6 · 0,5² · 0,5² = 6 · 0,0625 = 0,375 - X ~ B(5; 0,2). Halla P(X = 0).
Ver respuesta
0,8⁵ = 0,32768 - X ~ B(5; 0,2). Halla P(X ≥ 1).
Ver respuesta
1 − 0,32768 = 0,67232 - X ~ B(6; 0,3). Halla P(X = 2).
Ver respuesta
15 · 0,3² · 0,7⁴ = 15 · 0,09 · 0,2401 ≈ 0,3241 - X ~ B(10; 0,5). Halla P(X = 10).
Ver respuesta
0,5¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,000977 - X ~ B(3; 0,4). Halla P(X ≤ 1).
Ver respuesta
P(0) = 0,6³ = 0,216; P(1) = 3 · 0,4 · 0,6² = 0,432. Total 0,648 - X ~ B(20; 0,25). Halla la media.
Ver respuesta
np = 20 · 0,25 = 5 - X ~ B(20; 0,25). Halla la varianza y la desviación típica.
Ver respuesta
Varianza = 20 · 0,25 · 0,75 = 3,75; σ = √3,75 ≈ 1,936 - X ~ B(8; 0,5). Halla P(X = 4).
Ver respuesta
(8 sobre 4) = 70, así que 70 · 0,5⁸ = 70 ÷ 256 ≈ 0,2734 - X ~ B(4; 0,1). Halla P(X ≥ 2).
Ver respuesta
P(0) = 0,6561, P(1) = 4 · 0,1 · 0,729 = 0,2916. 1 − 0,6561 − 0,2916 = 0,0523 - X ~ B(n; 0,4) tiene media 12. Halla n.
Ver respuesta
0,4n = 12, así que n = 30 - X ~ B(n, p) tiene media 6 y varianza 4,2. Halla n y p.
Ver respuesta
q = 4,2 ÷ 6 = 0,7, así que p = 0,3 y n = 6 ÷ 0,3: n = 20, p = 0,3 - ¿Cuál es el valor más probable de X ~ B(10; 0,3)?
Ver respuesta
P(2) ≈ 0,2335, P(3) ≈ 0,2668, P(4) ≈ 0,2001: el más probable es 3
Problemas
La distribución binomial en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Una futbolista marca el 80 % de sus penaltis. Tira 5. ¿Qué probabilidad hay de que marque los 5?
Ver respuesta
0,8⁵ = 0,32768 - Cada semilla de un sobre tiene un 90 % de probabilidad de germinar. Siembras 10. ¿Cuántas esperas que germinen y qué probabilidad hay de que germinen las 10?
Ver respuesta
Media 10 · 0,9 = 9 semillas; P(las 10) = 0,9¹⁰ ≈ 0,3487 - Un test tiene 10 preguntas con 4 opciones cada una. Ana responde todas al azar. ¿Cuántas espera acertar y qué probabilidad hay de que no acierte ninguna?
Ver respuesta
Media 10 · 0,25 = 2,5; P(0) = 0,75¹⁰ ≈ 0,0563 - El 2 % de las bombillas de una fábrica son defectuosas. Una caja tiene 50. ¿Qué probabilidad hay de que la caja tenga al menos una defectuosa?
Ver respuesta
1 − 0,98⁵⁰ ≈ 1 − 0,3642 = 0,6358 - Una familia tiene 3 hijos, y cada hijo tiene la misma probabilidad de ser chica o chico. ¿Qué probabilidad hay de exactamente 2 chicas?
Ver respuesta
(3 sobre 2) · 0,5³ = 3 · 0,125 = 0,375
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se usa la distribución binomial?
Cuando cuentas éxitos en pruebas repetidas de sí o no que cumplen las cuatro condiciones: goles en penaltis, piezas defectuosas en un lote, aciertos al azar en un test, pacientes que responden a un tratamiento.
¿La distribución binomial es discreta o continua?
Discreta. X cuenta éxitos, así que solo puede valer 0, 1, 2… hasta n. La distribución normal, en cambio, es continua.
¿Es lo mismo la distribución binomial que un proceso de Bernoulli?
No exactamente. Una prueba de Bernoulli es un solo experimento con dos resultados; repetir n pruebas de Bernoulli independientes es un proceso de Bernoulli, y la distribución binomial es la del número de éxitos en esas n pruebas. B(1, p) es la distribución de Bernoulli.
¿Qué diferencia hay entre la binomial, la hipergeométrica y la de Poisson?
La binomial cuenta éxitos en n pruebas con p constante (por ejemplo, con reemplazamiento). La hipergeométrica cuenta éxitos al extraer sin reemplazamiento de un grupo finito, así que p cambia (si el grupo es muy grande, la diferencia con la binomial es pequeña). La de Poisson cuenta sucesos en un intervalo de tiempo o espacio, sin un n fijo.
¿Cómo se calcula la distribución binomial en Excel?
=DISTR.BINOM.N(k; n; p; FALSO) da P(X = k) y =DISTR.BINOM.N(k; n; p; VERDADERO) da P(X ≤ k). Por ejemplo, =DISTR.BINOM.N(4; 5; 0,8; FALSO) da 0,4096.
¿Cómo se representa la distribución binomial?
Con un diagrama de barras: en el eje horizontal los valores de k de 0 a n, y en el vertical P(X = k). Las barras van separadas porque la variable es discreta.
Test rápido
La distribución binomial
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Pregunta 1 de 5
¿Cuál de estas NO es una condición de la distribución binomial?
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