Matemáticas
¿Qué es un polígono de frecuencias y cómo se hace?
Respuesta rápida
Un polígono de frecuencias es un gráfico de líneas para datos agrupados. Se marca la frecuencia de cada intervalo sobre su marca de clase y se unen los puntos con segmentos rectos.
En una frase
Un polígono de frecuencias es un gráfico que se obtiene al marcar la frecuencia de cada intervalo sobre su punto medio y unir los puntos con segmentos rectos.
Explicación
Cuando los datos se agrupan en intervalos (clases), por ejemplo estaturas de 150 a 160 cm y de 160 a 170 cm, se pierden los valores exactos: solo sabes cuántos datos caen en cada intervalo, es decir, su frecuencia absoluta. Un histograma lo muestra con barras pegadas. Un polígono de frecuencias muestra lo mismo con puntos y líneas.
Cada intervalo se representa con un punto:
- en horizontal: la marca de clase (el punto medio del intervalo), xᵢ = (extremo inferior + extremo superior) ÷ 2
- en vertical: la frecuencia del intervalo
Para el intervalo [150, 160) con frecuencia 8, la marca de clase es (150 + 160) ÷ 2 = 155, así que marcas el punto (155; 8). Después unes los puntos, en orden, con segmentos. ¿Por qué la marca de clase? Dentro del intervalo no sabes dónde están los datos, así que el centro es el valor más justo para representarlos a todos.
regla
lápiz
montaña
Si ya tienes dibujado el histograma, hay un atajo: pon un punto en el centro del lado de arriba de cada barra y une los puntos.
El polígono de frecuencias destaca al comparar. Dos histogramas en los mismos ejes se tapan, pero dos polígonos (las estaturas de chicos y chicas, o las notas de dos grupos) caben en un mismo gráfico con colores distintos. De un vistazo ves qué grupo está más arriba, cuál está más disperso y dónde tiene cada uno su máximo.
Muchos libros cierran el polígono: añaden un intervalo vacío en cada extremo, con frecuencia 0, para que la línea empiece y termine sobre el eje horizontal. Otros solo unen los puntos marcados. Haz lo que pida tu profesor; los dos muestran los mismos datos.
No lo confundas con gráficos parecidos:
- Un gráfico de líneas suele mostrar cómo cambia algo con el tiempo. El polígono de frecuencias muestra cuántas veces aparece cada valor.
- El polígono de frecuencias acumuladas (u ojiva) marca los totales acumulados en el extremo superior de cada intervalo; lo tienes en frecuencia acumulada.
- Si pones las frecuencias relativas en el eje vertical obtienes el polígono de frecuencias relativas: misma forma, otra escala.
Ejemplos
Estaturas de 30 alumnos:
| Estatura (cm) | Frecuencia fᵢ | Marca de clase xᵢ | Punto |
|---|---|---|---|
| [140, 150) | 3 | 145 | (145; 3) |
| [150, 160) | 8 | 155 | (155; 8) |
| [160, 170) | 11 | 165 | (165; 11) |
| [170, 180) | 6 | 175 | (175; 6) |
| [180, 190) | 2 | 185 | (185; 2) |
Marca los cinco puntos y únelos con segmentos. El polígono sube hasta un máximo en 165 (la clase modal, de 160 a 170 cm) y baja a los dos lados. Para cerrarlo, añade (135; 0) y (195; 0), las marcas de clase de los intervalos vacíos [130, 140) y [190, 200).
Con los mismos puntos puedes estimar la media: multiplica cada marca de clase por su frecuencia, suma y divide entre el total. Aquí (145 × 3 + 155 × 8 + 165 × 11 + 175 × 6 + 185 × 2) ÷ 30 = 4910 ÷ 30 ≈ 163,7 cm. Es solo una estimación, porque las marcas de clase sustituyen a las estaturas reales (más sobre promedios en media, mediana y moda).
Errores frecuentes
- Marcar los puntos en los extremos del intervalo. Solución: el polígono de frecuencias usa las marcas de clase. Los extremos superiores son para la ojiva.
- Calcular mal la marca de clase. La de [20, 30) es 25, no 20 ni 30. Solución: suma los extremos y divide entre 2.
- Unir con una curva o unir el último punto con el primero. Solución: segmentos rectos con regla, de cada punto al siguiente, de izquierda a derecha.
- Una escala irregular en el eje horizontal. Solución: el eje horizontal es una recta numérica; a pasos iguales, distancias iguales.
Paso a paso
Paso a paso
- Calcula las marcas de clasePara cada intervalo, suma los extremos y divide entre 2.
- Dibuja los ejesEn horizontal, una escala numérica continua que abarque todos los intervalos; en vertical, la frecuencia.
- Marca los puntosUn punto por intervalo: (marca de clase; frecuencia).
- Une los puntosCon una regla, une cada punto con el siguiente mediante un segmento.
- Ciérralo si te lo pidenAñade en cada extremo un punto de frecuencia 0 en la marca de clase de un intervalo vacío.
Ejercicios de práctica
Polígonos de frecuencias
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- ¿Cuál es la marca de clase de [10, 20)?
Ver respuesta
(10 + 20) ÷ 2 = 15 - ¿Cuál es la marca de clase de [0, 5)?
Ver respuesta
(0 + 5) ÷ 2 = 2,5 - ¿Cuál es la marca de clase de [150, 160)?
Ver respuesta
155 - ¿Cuál es la marca de clase de [20, 40)?
Ver respuesta
(20 + 40) ÷ 2 = 30 - El intervalo [30, 40) tiene frecuencia 7. ¿Qué punto se marca?
Ver respuesta
(35; 7) - Los intervalos [0, 10), [10, 20) y [20, 30) tienen frecuencias 4, 9 y 5. Escribe los puntos.
Ver respuesta
(5; 4), (15; 9) y (25; 5) - Los intervalos [10, 20), [20, 30) y [30, 40) tienen frecuencias 2, 6 y 3. ¿Qué dos puntos cierran el polígono?
Ver respuesta
(5; 0) y (45; 0) - Un polígono de frecuencias tiene los puntos (25; 4), (35; 10), (45; 7) y (55; 3). ¿Cuál es el total de datos?
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4 + 10 + 7 + 3 = 24 - En el polígono del ejercicio 8, ¿qué intervalo tiene la mayor frecuencia?
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El máximo está en 35, así que [30, 40) - En el polígono del ejercicio 8, ¿cuál es la amplitud de los intervalos?
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35 − 25 = 10 - En el polígono del ejercicio 8, ¿cuántos datos valen 40 o más?
Ver respuesta
7 + 3 = 10 - Hay un punto en (2,5; 6) y los intervalos tienen amplitud 5. ¿De qué intervalo se trata?
Ver respuesta
[0, 5), con frecuencia 6 - Estima la media a partir del polígono del ejercicio 8.
Ver respuesta
(25 × 4 + 35 × 10 + 45 × 7 + 55 × 3) ÷ 24 = 930 ÷ 24 = 38,75 - ¿En qué valor horizontal se representa el intervalo [40, 60) en (a) un polígono de frecuencias y (b) una ojiva?
Ver respuesta
(a) 50, la marca de clase; (b) 60, el extremo superior
Problemas
Polígonos de frecuencias en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Tiempos de reacción: de 0,2 a 0,3 s, 5 personas; de 0,3 a 0,4 s, 12 personas; de 0,4 a 0,5 s, 8 personas. ¿Qué puntos se marcan?
Ver respuesta
(0,25; 5), (0,35; 12) y (0,45; 8) - Se pesan 50 manzanas: de 100 a 120 g, 6; de 120 a 140 g, 15; de 140 a 160 g, 20; de 160 a 180 g, el resto. Halla la frecuencia que falta y su punto.
Ver respuesta
50 − 41 = 9, en el punto (170; 9) - Temperaturas a mediodía durante 30 días: de 10 a 15 °C, 4 días; de 15 a 20 °C, 11 días; de 20 a 25 °C, 10 días; de 25 a 30 °C, 5 días. ¿Cuántos días hubo 20 °C o más?
Ver respuesta
10 + 5 = 15 días - Un polígono con la duración de los trayectos en autobús tiene los puntos (5; 8), (15; 14), (25; 6) y (35; 2), en minutos. Estima la duración media.
Ver respuesta
(40 + 210 + 150 + 70) ÷ 30 = 470 ÷ 30 ≈ 15,7 minutos - Dos grupos de 30 alumnos hacen el mismo examen. El polígono de 2.º A tiene el máximo en 6,5 puntos y el de 2.º B en 5,5, con formas parecidas. ¿Qué grupo sacó en general mejores notas?
Ver respuesta
2.º A: sus notas más frecuentes son alrededor de 1 punto más altas.
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirve un polígono de frecuencias?
Muestra la forma de una distribución de datos agrupados (dónde se concentran y cuánto se dispersan) y es el gráfico sencillo más útil para comparar dos o más distribuciones en los mismos ejes.
¿Qué diferencia hay entre histograma y polígono de frecuencias?
Representan los mismos datos agrupados. El histograma usa barras pegadas; el polígono usa puntos sobre las marcas de clase unidos con segmentos. Si unes los centros de la parte de arriba de las barras de un histograma, obtienes el polígono de frecuencias.
¿Qué es un polígono de frecuencias acumuladas?
Es la ojiva: se marcan las frecuencias acumuladas en el extremo superior de cada intervalo y se unen los puntos. Siempre sube y sirve para estimar la mediana y los cuartiles.
¿Qué es un polígono de frecuencias relativas?
Es el mismo polígono, pero con la frecuencia relativa (o el porcentaje) en el eje vertical. Tiene la misma forma y permite comparar grupos de tamaño distinto.
¿Cómo se lee un polígono de frecuencias?
Cada punto dice cuántos datos hay en el intervalo cuyo centro está debajo. El pico indica la clase modal, y una línea ancha y baja indica datos muy dispersos.
¿Cómo se hace un polígono de frecuencias en Excel?
Escribe las marcas de clase en una columna y las frecuencias en la siguiente. Selecciona las dos e inserta un gráfico de dispersión con líneas rectas y marcadores.
Test rápido
Polígono de frecuencias
Comprueba lo que sabes con 5 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 5
¿Dónde se coloca cada punto de un polígono de frecuencias?
A practicar
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