Matemáticas
¿Qué son la varianza y la desviación típica, y cómo se calculan?
Respuesta rápida
La varianza y la desviación típica (o estándar) miden cuánto se alejan los datos de la media. La varianza es la media de las desviaciones al cuadrado; la desviación típica, su raíz cuadrada.
En una frase
La varianza y la desviación típica dicen cuánto se dispersan los datos: un valor pequeño significa que están cerca de la media; uno grande, que están muy repartidos.
Explicación
Piensa en dos jugadoras de baloncesto que promedian 14 puntos por partido. Una mete 12, 14 o 16 casi siempre. La otra mete 4 un día y 24 al siguiente. La media es la misma, pero son jugadoras muy distintas. La desviación típica es el número que recoge esa diferencia: mide la regularidad, es decir, la dispersión.
balón
regla
reloj
La idea es mirar a qué distancia está cada dato de la media. Esas distancias se llaman desviaciones. Unas son positivas y otras negativas, y siempre suman cero, así que no sirve promediarlas tal cual. Lo que se hace es elevar al cuadrado cada desviación (así todas son positivas) y calcular la media de esos cuadrados. Eso es la varianza:
σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
La varianza está en unidades al cuadrado (cm², puntos²), lo que cuesta interpretar. Por eso se hace la raíz cuadrada para volver a las unidades de los datos. Eso es la desviación típica, también llamada desviación estándar (el nombre más usado en Latinoamérica):
σ = √varianza
Los símbolos: σ (sigma minúscula) es la desviación típica de una población y σ² su varianza; para una muestra se escribe s y s². Σ (sigma mayúscula) significa "suma todos", x̄ es la media y n el número de datos.
¿Población o muestra? Si tus datos son todo el grupo que te interesa, divide entre n. Si son una muestra para estimar una población mayor, divide entre n − 1: sale un valor un poco mayor, que corrige el hecho de que una muestra suele quedarse corta al medir la dispersión. Los ejercicios suelen decir cuál usar. En esta página dividimos entre n salvo que el ejercicio diga "muestral".
Hay una fórmula más rápida que evita calcular cada desviación: σ² = (Σx² ÷ n) − x̄², "la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media". Da exactamente lo mismo y es la que usan las calculadoras.
Ejemplos
Datos: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). La media es 40 ÷ 8 = 5.
| x | Desviación x − 5 | Al cuadrado |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
Los cuadrados suman 32. Varianza = 32 ÷ 8 = 4. Desviación típica = √4 = 2.
Ahora las dos jugadoras en cinco partidos. Jugadora A: 10, 12, 14, 16, 18. Jugadora B: 4, 8, 14, 20, 24. Las dos tienen media 14. Para A, los cuadrados de las desviaciones son 16, 4, 0, 4, 16 (suman 40): varianza 8 y desviación típica √8 ≈ 2,83. Para B son 100, 36, 0, 36, 100 (suman 272): varianza 54,4 y desviación típica ≈ 7,38. La jugadora A es mucho más regular.
Errores frecuentes
- No elevar al cuadrado las desviaciones. Las desviaciones sin más siempre suman 0. Solución: eleva cada una al cuadrado antes de sumar.
- Quedarse en la varianza. Solución: si piden la desviación típica, haz la raíz cuadrada al final.
- Confundir n con n − 1. Solución: población → entre n; muestra → entre n − 1. En la calculadora, σx (o σn) es el valor poblacional y sx (o σn−1) el muestral.
- Colocar mal el cuadrado de la media. En la fórmula rápida es (Σx² ÷ n) − x̄², no Σx² ÷ n² ni (Σx)² ÷ n.
Paso a paso
Paso a paso
- Calcula la mediaSuma todos los datos y divide entre cuántos hay.
- Calcula cada desviaciónResta la media a cada dato (x − x̄).
- Eleva al cuadradoEleva cada desviación al cuadrado para que todas sean positivas.
- Haz la media de los cuadradosSúmalos y divide entre n (o entre n − 1 si es una muestra). Esa es la varianza.
- Haz la raízLa raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica, en las mismas unidades que los datos.
Con una tabla de frecuencias, multiplica por la frecuencia: media = Σfx ÷ Σf y varianza = (Σfx² ÷ Σf) − media². Con datos agrupados en intervalos, usa la marca de clase (el punto medio) como x; el resultado es una estimación.
Ejercicios de práctica
Varianza y desviación típica
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- ¿Cuál es la desviación típica de 4, 4, 4, 4?
Ver respuesta
Todos los datos son iguales a la media: 0 - La varianza es 25. ¿Cuál es la desviación típica?
Ver respuesta
√25 = 5 - La desviación típica es 3. ¿Cuál es la varianza?
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3² = 9 - Calcula la varianza de 2, 4, 6, 8.
Ver respuesta
Media 5; cuadrados 9, 1, 1, 9; suman 20; 20 ÷ 4 = 5 - Calcula la desviación típica de 2, 4, 6, 8.
Ver respuesta
√5 ≈ 2,24 (2 decimales) - Calcula la desviación típica de 1, 3, 5, 7, 9.
Ver respuesta
Media 5; cuadrados 16, 4, 0, 4, 16 = 40; varianza 8; √8 ≈ 2,83 - Calcula la desviación típica de 3, 5, 7.
Ver respuesta
Media 5; cuadrados 4, 0, 4 = 8; varianza 8 ÷ 3 ≈ 2,67; σ ≈ 1,63 - Sin volver a calcular, ¿cuál es la desviación típica de 13, 15, 17?
Ver respuesta
Son 3, 5, 7 sumando 10 a cada dato; la dispersión no cambia: ≈ 1,63 - Se duplican todos los datos. ¿Qué pasa con la desviación típica y con la varianza?
Ver respuesta
La desviación típica se duplica y la varianza se multiplica por 4. - Calcula la desviación típica de 5, 7, 8, 10, 15.
Ver respuesta
Media 9; cuadrados 16, 4, 1, 1, 36 = 58; varianza 11,6; σ = √11,6 ≈ 3,41 - n = 5, Σx = 30 y Σx² = 200. Calcula la desviación típica.
Ver respuesta
Media 6; varianza 200 ÷ 5 − 6² = 40 − 36 = 4; σ = 2 - Calcula la desviación típica muestral s de 2, 4, 6, 8.
Ver respuesta
Los cuadrados suman 20; s² = 20 ÷ 3 ≈ 6,67; s ≈ 2,58 - Los valores 1, 2, 3 tienen frecuencias 2, 5, 3. Calcula la desviación típica.
Ver respuesta
Σf = 10, Σfx = 21, media 2,1; Σfx² = 49; varianza 4,9 − 4,41 = 0,49; σ = 0,7 - El conjunto A es 48, 50, 52 y el B es 30, 50, 70. ¿Cuál tiene mayor desviación típica?
Ver respuesta
Misma media (50), pero los datos de B están mucho más lejos: el conjunto B
Problemas
La dispersión en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Las temperaturas a mediodía de una semana fueron 18, 20, 21, 19, 22, 23 y 17 °C. Calcula la desviación típica.
Ver respuesta
Media 140 ÷ 7 = 20; cuadrados 4, 0, 1, 1, 4, 9, 9 = 28; varianza 4; σ = 2 °C - Un bocadillo cuesta 1,20 €, 1,40 €, 1,50 € y 1,90 € en cuatro bares. Calcula la desviación típica de los precios.
Ver respuesta
Media 1,50 €; cuadrados 0,09; 0,01; 0; 0,16 = 0,26; varianza 0,065; σ ≈ 0,25 € (2 decimales) - Un examen tiene media 70 y desviación típica 5. Ana saca 80. ¿Cuántas desviaciones típicas está por encima de la media?
Ver respuesta
(80 − 70) ÷ 5 = 2 desviaciones típicas por encima - Una máquina llena bolsas de arroz con media 1000 g y desviación típica 4 g. Una bolsa pesa 992 g. ¿Es raro?
Ver respuesta
(992 − 1000) ÷ 4 = −2: está 2 desviaciones típicas por debajo de la media, bastante raro. - Dos atletas tienen la misma media en los 100 m. X tiene σ = 0,1 s e Y tiene σ = 0,4 s. ¿Quién es más regular?
Ver respuesta
Menor desviación típica, menos dispersión: el atleta X
Preguntas frecuentes
¿Varianza y desviación típica son lo mismo?
No, aunque las dos miden la dispersión. La varianza es la media de las desviaciones al cuadrado (unidades al cuadrado); la desviación típica es su raíz cuadrada, en las mismas unidades que los datos, y por eso se interpreta mejor.
¿Desviación típica y desviación estándar son lo mismo?
Sí. En España se dice sobre todo "desviación típica"; en Latinoamérica, "desviación estándar". La fórmula es la misma.
¿Qué símbolos se usan?
σ para la desviación típica de la población y σ² para su varianza; s y s² para una muestra. A veces la varianza se escribe Var(X).
¿Qué significa una desviación típica grande?
Que los datos están muy repartidos: muchos valores quedan lejos de la media. Una desviación típica pequeña indica datos agrupados cerca de la media.
¿Cómo se calcula con la calculadora?
Entra en el modo estadístico (STAT), introduce los datos y lee σx si es una población o sx si es una muestra.
¿Cómo se calcula en Excel?
=DESVEST.P(A1:A10) para una población y =DESVEST.M(A1:A10) para una muestra. VAR.P y VAR.S dan las varianzas. La desviación típica también es la base de la distribución normal.
Test rápido
Varianza y desviación típica
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Pregunta 1 de 4
¿Cuál es la desviación típica de 5, 5, 5, 5?
A practicar
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