Matemáticas
¿Qué son los cuartiles y cómo se calcula el rango intercuartílico?
Respuesta rápida
Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro partes iguales. El rango intercuartílico es el tercer cuartil menos el primero, RIC = Q₃ − Q₁: la dispersión de la mitad central.
En una frase
Los cuartiles son los tres valores que dividen un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales, y el rango intercuartílico (RIC) es la distancia entre el tercer y el primer cuartil: la dispersión de la mitad central de los datos.
Explicación
Ordena a once alumnos según su nota en un examen, de menor a mayor. El que queda en el centro tiene la mediana. Si ahora partes cada mitad por su centro, obtienes tres puntos de corte:
- Q₁, primer cuartil (o cuartil inferior): una cuarta parte de los datos queda por debajo. Es también el percentil 25.
- Q₂, segundo cuartil: es la mediana; la mitad de los datos queda por debajo.
- Q₃, tercer cuartil (o cuartil superior): tres cuartas partes de los datos quedan por debajo. Es el percentil 75.
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regla
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El rango intercuartílico (también llamado recorrido intercuartílico, RIC o IQR por sus siglas en inglés) mide lo dispersa que está la mitad central de los datos:
Rango intercuartílico (RIC) = tercer cuartil − primer cuartil = Q₃ − Q₁
Tiene las mismas unidades que los datos: si son notas, el RIC son puntos de nota; si son minutos, minutos.
¿Por qué no usar simplemente el rango (máximo − mínimo)? Porque el rango depende de los dos datos más extremos, y un solo valor raro, un valor atípico, puede hacerlo enorme. El RIC deja fuera la cuarta parte inferior y la superior, así que muestra lo agrupados que están los datos típicos. Un RIC pequeño indica que la mitad central es homogénea; un RIC grande, que está muy dispersa.
Cómo se calculan. En los libros de la ESO es muy habitual este método por posiciones, con n datos ordenados:
- Calcula n/4 (para Q₁) y 3n/4 (para Q₃).
- Si el resultado no es entero, redondea hacia arriba: el cuartil es el dato que ocupa esa posición.
- Si el resultado es entero, el cuartil es la media de ese dato y el siguiente.
Otra forma, que da el mismo resultado salvo cuando n = 5, 9, 13…, es el método de las mitades: Q₁ es la mediana de la mitad inferior y Q₃ la de la mitad superior (si n es impar, la mediana no entra en ninguna mitad). Con 7, 11, 15, 19… datos estos dos métodos coinciden (aunque funciones de hoja de cálculo como CUARTIL.INC pueden dar otro resultado); con otros tamaños puede haber pequeñas diferencias, así que usa el de tu profesor.
Los cuartiles forman, con el mínimo y el máximo, el resumen de cinco números del diagrama de caja y bigotes. La caja va de Q₁ a Q₃, así que la longitud de la caja es el RIC. Con muchos datos o datos agrupados, los cuartiles se buscan con las frecuencias acumuladas en las posiciones n/4 y 3n/4. La mediana se explica en media, mediana y moda, y una medida de dispersión que usa todos los datos es la desviación típica.
Ejemplos
Ejemplo resuelto: las notas (sobre 50) de 11 alumnos son 18, 22, 25, 27, 30, 31, 33, 36, 38, 41, 45.
- Mediana: el dato 6.º, 31.
- Q₁: 11/4 = 2,75, redondeamos a 3; el 3.er dato es 25.
- Q₃: 33/4 = 8,25, redondeamos a 9; el 9.º dato es 38.
- RIC = 38 − 25 = 13 puntos. (El rango es 45 − 18 = 27 puntos.)
| Datos ordenados | n | Q₁ | Mediana | Q₃ | RIC |
|---|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 5, 7, 9, 10, 13 | 7 | 4 | 7 | 10 | 6 |
| 1, 3, 3, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 18, 20 | 11 | 3 | 9 | 15 | 12 |
| 10, 12, 15, 16, 19, 22 | 6 | 12 | 15,5 | 19 | 7 |
| 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 20 | 10 | 6 | 10 | 14 | 8 |
En la última fila, la mediana es (9 + 11) / 2 = 10; para Q₁, 10/4 = 2,5 se redondea a 3 (dato 6) y para Q₃, 30/4 = 7,5 se redondea a 8 (dato 14).
Ejemplo con un valor atípico: la paga semanal de siete amigos es 4 €, 5 €, 5 €, 6 €, 7 €, 8 € y 30 €. Q₁ = 5 € y Q₃ = 8 €, así que el RIC es 3 €, mientras que el rango es 26 €. Los 30 € hacen que el rango parezca enorme, pero el RIC muestra que casi todos reciben cantidades parecidas.
Errores frecuentes
- No ordenar los datos. Los cuartiles solo tienen sentido con los datos ordenados. Solución: reescribe la lista de menor a mayor y comprueba que sigues teniendo n datos.
- Contar la mediana en las dos mitades. Con n impar, en el método de las mitades la mediana no entra en ninguna.
- Dar los cuartiles en lugar del RIC. «Q₁ = 25 y Q₃ = 38» no responde a «calcula el rango intercuartílico». Solución: termina siempre con Q₃ − Q₁ = 13.
- Confundir RIC y rango. El rango usa los extremos (máximo − mínimo); el RIC usa los cuartiles (Q₃ − Q₁).
Paso a paso
Paso a paso
- OrdenaEscribe los datos de menor a mayor y cuenta cuántos hay (n).
- Halla la medianaEl dato central, o la media de los dos centrales si n es par.
- Busca Q₁Posición n/4: si no es entera, redondea hacia arriba; si es entera, media de ese dato y el siguiente.
- Busca Q₃Igual, con la posición 3n/4.
- RestaRIC = Q₃ − Q₁. Añade las unidades y comprueba que Q₁ ≤ mediana ≤ Q₃.
Para detectar valores atípicos se usa a menudo esta regla: un dato es atípico si está más de 1,5 · RIC por debajo de Q₁ o por encima de Q₃.
Ejercicios de práctica
Cuartiles y rango intercuartílico
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Q₁ = 12 y Q₃ = 20. Calcula el RIC.
Ver respuesta
20 − 12 = 8 - El primer cuartil es 3,5 y el tercero 9,2. Calcula el RIC.
Ver respuesta
9,2 − 3,5 = 5,7 - Halla Q₁, la mediana y Q₃ de 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11.
Ver respuesta
Mediana 6; mitad inferior 2, 3, 5; mitad superior 8, 9, 11: Q₁ = 3, mediana = 6, Q₃ = 9 - Calcula el RIC de los datos del ejercicio 3.
Ver respuesta
9 − 3 = 6 - Calcula el RIC de 9, 4, 7, 1, 12, 6, 10.
Ver respuesta
Ordenados: 1, 4, 6, 7, 9, 10, 12. Q₁ = 4, Q₃ = 10: RIC = 6 - Halla los cuartiles y el RIC de 14, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 30.
Ver respuesta
Mediana 20 (dato 6.º); Q₁ = 15, Q₃ = 24: RIC = 9 - Calcula el RIC de 5, 8, 9, 12, 14, 20.
Ver respuesta
Q₁ = 2.º dato = 8; Q₃ = 5.º dato = 14: RIC = 6 - Halla la mediana y el RIC de 21, 23, 24, 26, 27, 29, 31, 32, 35, 40.
Ver respuesta
Mediana (27 + 29) / 2 = 28; Q₁ = 24, Q₃ = 32: RIC = 8 - Un diagrama de caja tiene mínimo 4, Q₁ 10, mediana 15, Q₃ 22 y máximo 30. Calcula el RIC y el rango.
Ver respuesta
RIC = 22 − 10 = 12; rango = 30 − 4 = 26 - En el diagrama del ejercicio 9, ¿qué porcentaje de los datos es mayor que 10?
Ver respuesta
10 es Q₁, así que el 75 % de los datos está por encima. - Q₁ = 20 y Q₃ = 30. Con la regla de 1,5 · RIC, ¿es 50 un valor atípico?
Ver respuesta
RIC = 10, límite superior 30 + 1,5 · 10 = 45. Como 50 > 45, sí. - ¿Es 19 un valor atípico en 3, 4, 4, 5, 6, 7, 19?
Ver respuesta
Q₁ = 4, Q₃ = 7, RIC = 3; límite superior 7 + 4,5 = 11,5. Sí, 19 > 11,5. - Calcula el RIC de 2, 3, 5, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 13, 15, 17, 18, 21.
Ver respuesta
n = 15, mediana = dato 8.º = 10; Q₁ = dato 4.º = 5, Q₃ = dato 12.º = 15: RIC = 10 - Q₁ = 7 y el RIC es 9. Halla Q₃.
Ver respuesta
7 + 9 = 16 - Calcula el RIC de 5, 5, 5, 5, 5, 5, 9. ¿Qué significa?
Ver respuesta
Q₁ = 5 y Q₃ = 5, así que RIC = 0: la mitad central de los datos tiene el mismo valor.
Problemas
Cuartiles en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- En la clase A, Q₁ = 52 y Q₃ = 70 puntos; en la clase B, Q₁ = 58 y Q₃ = 64. ¿Qué clase tiene resultados más homogéneos?
Ver respuesta
RIC de A = 18, RIC de B = 6: la clase B (su mitad central está más agrupada). - Las temperaturas a mediodía de una semana fueron 14, 16, 15, 18, 21, 17 y 19 °C. Calcula el RIC.
Ver respuesta
Ordenadas: 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21. Q₁ = 15, Q₃ = 19: RIC = 4 °C - Durante 11 días, el autobús de Lucía al instituto tardó 22, 25, 24, 30, 23, 26, 45, 24, 27, 25 y 28 minutos. Calcula el RIC. ¿Es atípico el dato de 45 minutos?
Ver respuesta
Ordenados: 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 30, 45. Q₁ = 24, Q₃ = 28, RIC = 4 minutos. Límite superior 28 + 6 = 34, así que 45 es atípico (quizá hubo un atasco). - Un libro cuesta 8 €, 9 €, 9 €, 10 €, 11 €, 12 € y 15 € en siete tiendas. Calcula el RIC.
Ver respuesta
Q₁ = 9 €, Q₃ = 12 €: RIC = 3 € - Un diagrama de caja de la altura de 80 girasoles tiene Q₁ = 1,2 m y Q₃ = 1,9 m. Calcula el RIC. ¿Cuántos girasoles miden entre 1,2 m y 1,9 m?
Ver respuesta
RIC = 1,9 − 1,2 = 0,7 m; la mitad de 80: unos 40 girasoles.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del rango intercuartílico?
RIC = Q₃ − Q₁, el tercer cuartil menos el primero. Primero se calculan los cuartiles y después se restan.
¿Para qué sirve y cómo se interpreta el rango intercuartílico?
Indica lo dispersa que está la mitad central (el 50 %) de los datos. Si dos grupos tienen la misma mediana pero distinto RIC, el de RIC menor tiene resultados más parecidos entre sí.
¿Cómo se ve el RIC en un diagrama de caja y bigotes?
Es la longitud de la caja: lee el valor del borde derecho (Q₃) y el del izquierdo (Q₁) y réstalos. La raya de dentro es la mediana y los bigotes llegan al mínimo y al máximo.
¿Cómo se calculan los cuartiles en datos agrupados?
Con la tabla de frecuencias acumuladas se busca el intervalo donde está la posición k·N/4 y se aplica Q_k = Lᵢ + (k·N/4 − Fᵢ₋₁) / fᵢ · aᵢ, donde Lᵢ es el límite inferior del intervalo, Fᵢ₋₁ la frecuencia acumulada anterior, fᵢ la frecuencia del intervalo y aᵢ su amplitud.
¿Cómo se calcula el rango intercuartílico en Excel?
Si los datos están en A1:A11, escribe =CUARTIL.EXC(A1:A11;3)-CUARTIL.EXC(A1:A11;1). Excel tiene también CUARTIL.INC, que usa otra regla: para las 11 notas de arriba da 26 y 37 en lugar de 25 y 38. Ninguna está mal; son convenios distintos.
¿Qué diferencia hay entre cuartiles, deciles y percentiles?
Todos dividen los datos ordenados en partes iguales: los cuartiles en 4, los deciles en 10 y los percentiles en 100. Q₁ es el percentil 25, la mediana el 50 y Q₃ el 75.
Test rápido
Cuartiles y rango intercuartílico
Comprueba lo que sabes con 5 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 5
El primer cuartil es 15 y el tercero es 27. ¿Cuál es el rango intercuartílico?
A practicar
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