Como calcular o volume do cone e da esfera?

Volume é o espaço que um sólido ocupa, medido em unidades cúbicas como cm³ ou m³ (veja volume). No cilindro é fácil: área da base vezes a altura, πr²h. O cone e a esfera dão um pouco mais de trabalho, mas cada um tem uma fórmula curta.

Volume do cone: V = ⅓πr²h

Aqui r é o raio da base e h é a altura, a distância na vertical do centro da base até o vértice. A fórmula diz: calcule a área do círculo da base, πr², multiplique pela altura e divida por 3. Por que um terço? Se você encher um cone de água e despejar num cilindro com a mesma base e a mesma altura, serão precisos exatamente três cones para enchê-lo. Com a pirâmide acontece o mesmo: ela é um terço do prisma em volta dela.

Volume da esfera: V = ⁴⁄₃πr³

Aqui r é o raio, a distância do centro até a superfície. O matemático grego Arquimedes descobriu que a esfera ocupa exatamente dois terços do cilindro que a envolve (raio r e altura 2r). Esse cilindro tem volume πr² × 2r = 2πr³, e dois terços de 2πr³ dão ⁴⁄₃πr³. A semiesfera (metade da esfera) tem ⅔πr³.

Existe uma relação linda entre os três sólidos. Pegue um cone, uma esfera e um cilindro, todos com raio r e altura 2r. Os volumes são ⅔πr³, ⁴⁄₃πr³ e 2πr³: estão na razão 1 : 2 : 3.

Dois cuidados. As duas fórmulas usam o raio: se o exercício der o diâmetro, divida por 2 primeiro. E como na esfera o raio está ao cubo, uma pequena mudança em r muda muito o volume: se o raio dobra, o volume fica 2³ = 8 vezes maior. Você pode deixar a resposta «em função de π» (36π cm³), que é exata, ou usar a calculadora e arredondar (113,1 cm³). Muitos livros pedem π ≈ 3,14; nesse caso as respostas mudam um pouquinho.

Ao contrário: para achar o raio da esfera a partir do volume, isole r³ = 3V ÷ (4π) e tire a raiz cúbica. No cone, h = 3V ÷ (πr²).

Qual é a fórmula do volume do cone?#

V = ⅓πr²h, ou seja, (área da base × altura) ÷ 3, em que r é o raio da base e h a altura. É um terço do volume do cilindro com a mesma base e a mesma altura.

Por que o volume do cone é dividido por 3?#

Porque o cone ocupa exatamente um terço do cilindro de mesma base e mesma altura. Dá para conferir com água ou arroz: três cones cheios enchem o cilindro. A demonstração é feita com o princípio de Cavalieri ou, mais tarde, com integrais.

Qual é a fórmula do volume da esfera?#

V = ⁴⁄₃πr³, em que r é o raio. Com o diâmetro d, também dá para usar V = πd³ ÷ 6.

Qual é o volume da esfera de raio 3 cm?#

⁴⁄₃ × π × 3³ = 36π ≈ 113,1 cm³. Com π ≈ 3,14, a conta dá 113,04 cm³.

Como se deduz o volume da esfera?#

Arquimedes mostrou que a esfera ocupa dois terços do cilindro que a envolve: ⅔ × 2πr³ = ⁴⁄₃πr³. Nas aulas, costuma-se demonstrar com o princípio de Cavalieri, comparando a esfera com um cilindro do qual se tiram dois cones.

Qual é o volume da esfera inscrita num cubo?#

Se o cubo tem aresta a, a esfera inscrita tem raio a ÷ 2, então V = ⁴⁄₃π(a/2)³ = πa³ ÷ 6. Num cubo de aresta 6 cm, a esfera tem 36π ≈ 113,1 cm³.

Como calcular o volume do tronco de cone?#

Calcule o volume do cone inteiro e subtraia o cone pequeno que foi cortado. Também existe a fórmula V = ⅓πh(R² + Rr + r²), com R e r os raios das bases e h a altura do tronco.