O que é um vetor na matemática e como somar vetores?

Algumas grandezas ficam claras com um número só: uma massa de 5 kg, uma temperatura de 18 °C, um tempo de 3 minutos. São grandezas escalares. Outras não fazem sentido sem uma direção. "Ande 3 km" não diz onde você vai parar; "ande 3 km para o leste", sim. Essas são grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade, aceleração e força. Por isso os vetores aparecem o tempo todo na Física.

Um vetor é desenhado como uma seta e tem três características:

• Módulo: o comprimento da seta, o "tamanho" do vetor, escrito |v|.
• Direção: a reta em que a seta está (horizontal, vertical, inclinada).
• Sentido: para qual lado dessa reta a ponta aponta.

O vetor que vai do ponto A (origem) ao ponto B (extremidade) é escrito AB com uma seta em cima. No plano, ele é dado pelas suas componentes: quanto anda na horizontal e quanto anda na vertical. É assim que os vetores representam o deslocamento entre dois lugares: de A(1, 2) até B(4, 6) você anda 3 para a direita e 4 para cima, e o vetor é (3; 4). Nesta página separamos as componentes com ponto e vírgula, por causa da vírgula decimal. A regra é sempre extremidade menos origem: (4 − 1; 6 − 2). É o mesmo tipo de movimento de uma translação nas transformações geométricas.

As contas são feitas componente por componente:

• Somar: (3; 4) + (1; −2) = (4; 2). No desenho, coloque a origem de uma seta na ponta da outra; o vetor resultante vai do começo da primeira ao fim da última (regra do polígono, ou do paralelogramo).
• Subtrair: (3; 4) − (1; −2) = (2; 6). Subtrair b é somar o vetor oposto −b: mesmo módulo e direção, sentido contrário.
• Multiplicar por um número: 2 × (3; 4) = (6; 8). A seta fica duas vezes maior e mantém a direção. Um número negativo inverte o sentido.
• Módulo: o de (x; y) é √(x² + y²), pelo teorema de Pitágoras. O módulo de (3; 4) é √(9 + 16) = 5.

Dois vetores são paralelos se um for um número vezes o outro: (2; 3) e (6; 9) são, porque (6; 9) = 3 × (2; 3). Três pontos A, B e C são colineares (estão na mesma reta) se AB e BC forem paralelos, já que têm o ponto B em comum. Dois vetores são perpendiculares (ou ortogonais) se o produto escalar for zero: para (a; b) e (c; d), a × c + b × d = 0.

Um vetor unitário tem módulo 1: basta dividir um vetor pelo seu módulo. Com O na origem, o vetor posição de um ponto A é OA. Se OA = a e OB = b, então AB = b − a, e o ponto médio de AB tem vetor posição ½(a + b). No espaço, um vetor tem três componentes, (x; y; z), e seu módulo é √(x² + y² + z²).

O que é vetor na matemática?#

É um ente definido por módulo, direção e sentido, representado por uma seta. Setas com o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido representam o mesmo vetor, onde quer que estejam.

Como somar vetores?#

Some as componentes: (2; 5) + (3; −1) = (5; 4). No desenho, encadeie as setas, a origem de uma na ponta da outra, e ligue o começo ao fim.

O que é vetor na física?#

É qualquer grandeza com direção e sentido: deslocamento, velocidade, aceleração, força e quantidade de movimento. Somando os vetores força, você encontra a força resultante.

Quando dois vetores são ortogonais ou perpendiculares?#

Quando o produto escalar é zero: multiplique as primeiras componentes, multiplique as segundas e some. (2; 3) e (3; −2) dão 6 − 6 = 0.

Como vetores podem representar deslocamentos entre dois locais?#

O vetor vai do ponto de partida ao ponto de chegada. As componentes dizem quanto se andou em cada direção, e o módulo dá a distância em linha reta, que pode ser menor que o caminho percorrido.

O que são vetores de doenças, na biologia?#

É outro sentido da mesma palavra: um vetor é um ser vivo que transmite uma doença, como o mosquito Aedes aegypti, que transmite a dengue, a zika e a chikungunya.

E os "vetores grátis" de design?#

Em design, uma imagem vetorial guarda pontos, linhas e curvas descritos por números. Por isso pode ser ampliada sem perder qualidade, ao contrário de uma foto feita de pixels.