O que é uma matriz na matemática e como fazer a multiplicação de matrizes?

Uma matriz guarda vários números de uma vez. A tabela do Brasileirão, um horário de aulas ou os pixels de uma foto são tabelas de números. No livro, as matrizes aparecem entre colchetes grandes; aqui escrevemos numa linha só, linha por linha, com ponto e vírgula entre as linhas: [1 2 3; 4 5 6] quer dizer que a primeira linha é 1 2 3 e a segunda é 4 5 6.

A ordem de uma matriz é linhas × colunas. [1 2 3; 4 5 6] tem 2 linhas e 3 colunas: é uma matriz 2 × 3 (lê-se "dois por três"). Cada número é um elemento. O elemento da linha i e coluna j se escreve aᵢⱼ; nessa matriz, a₂₁ = 4 e a₁₃ = 3.

Tipos de matrizes que aparecem muito:

• Matriz linha: uma só linha, como [3 1 4]. Matriz coluna: uma só coluna, como [2; 5].
• Matriz quadrada: mesmo número de linhas e colunas (2 × 2, 3 × 3…).
• Matriz nula: todos os elementos são 0.
• Matriz identidade I: 1 na diagonal principal e 0 no resto, como [1 0; 0 1]. Ela funciona como o número 1: AI = IA = A.

Como somar matrizes. Só dá para somar matrizes da mesma ordem: somam-se os elementos que ocupam a mesma posição. [1 2; 3 4] + [5 0; −1 2] = [6 2; 2 6]. Multiplicar por um número multiplica todos os elementos: 3 · [2 −1; 0 4] = [6 −3; 0 12].

Multiplicar duas matrizes é diferente, e é o que mais se pesquisa. Para achar um elemento de AB, pegue uma linha de A e uma coluna de B, multiplique os números dois a dois e some. A linha 1 com a coluna 1 dá o elemento da linha 1, coluna 1, e assim por diante. Por isso a multiplicação só existe quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Uma 3 × 2 vezes uma 2 × 3 pode (os números "de dentro", 2 e 2, são iguais), e o resultado é 3 × 3 (os "de fora").

A ordem importa: em geral AB ≠ BA, ou seja, a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Numa matriz 2 × 2 [a b; c d], o determinante é ad − bc. Se ele não for zero, a matriz tem inversa A⁻¹, com AA⁻¹ = I:

A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [d −b; −c a]

Troque a e d de lugar, troque o sinal de b e c e divida pelo determinante. A inversa resolve sistemas lineares de uma vez só. Matrizes também movem figuras: [0 −1; 1 0] gira cada ponto 90° no sentido anti-horário, o que liga o assunto às transformações geométricas e aos vetores; na faculdade isso vira "matrizes como transformações lineares". Computação gráfica e inteligência artificial fazem quantidades enormes de multiplicações de matrizes.

Para conferir: calculadoras científicas e gráficas costumam ter um modo de matrizes, e em Python com NumPy A @ B multiplica matrizes. Na prova, porém, é preciso mostrar a conta linha por coluna.

O que é matriz na matemática?#

É uma tabela retangular de números organizados em linhas e colunas. A ordem é dada por linhas × colunas: uma matriz 2 × 3 tem 2 linhas e 3 colunas.

Como funciona a multiplicação de matrizes?#

Cada elemento do resultado é uma linha da primeira matriz vezes uma coluna da segunda: multiplica-se dois a dois e soma-se. Só é possível se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

Como multiplicar uma matriz 3 × 2 por uma 2 × 3?#

Pode, porque 2 = 2, e o resultado é 3 × 3. Já 2 × 3 vezes 3 × 2 dá 2 × 2: a mesma dupla de matrizes, em outra ordem, gera resultados de ordens diferentes.

Como multiplicar uma matriz 2 × 2 por uma 2 × 1?#

O resultado é 2 × 1. Exemplo: [2 1; 0 3] · [4; 5] = [2 · 4 + 1 · 5; 0 · 4 + 3 · 5] = [13; 15].

Por que a multiplicação de matrizes não é comutativa?#

Porque AB usa as linhas de A com as colunas de B, e BA usa as linhas de B com as colunas de A: são contas diferentes. Às vezes BA nem existe, mesmo que AB exista.

O que são matrizes e determinantes?#

O determinante é um número calculado a partir de uma matriz quadrada. Ele diz se a matriz tem inversa (determinante diferente de 0) e é usado para resolver sistemas pela regra de Cramer.

Mais exercícios de álgebra