O que é um sistema de equações e como resolver?

Uma equação sozinha com duas incógnitas, como x + y = 10, tem infinitas soluções: 1 e 9, 4 e 6, 2,5 e 7,5. Se você ganha uma segunda pista, x − y = 4, só um par serve para as duas: x = 7 e y = 3. Essa é a ideia. Cada equação é uma pista, e você precisa de tantas pistas quanto incógnitas.

No caderno, o sistema aparece com uma chave juntando as equações. O mais comum na escola é o sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. A solução é um par ordenado, aqui (7, 3).

Há três métodos principais.

Método da substituição. Isole uma incógnita em uma equação e substitua na outra. Com y = 3x e x + y = 8: x + 3x = 8, 4x = 8, x = 2 e y = 6.

Método da adição. Some (ou subtraia) as equações para uma incógnita sumir. Com 2m + b = 130 e m + b = 80 (em centavos), subtraia: m = 50. Depois b = 80 − 50 = 30. A maçã custa R$ 0,50 e a banana R$ 0,30. Se os coeficientes não forem opostos ou iguais, multiplique antes uma equação inteira por um número.

Método gráfico. Cada equação do 1º grau vira uma reta no plano cartesiano. A solução é o ponto onde as retas se cruzam. y = x + 1 e y = −x + 5 se cruzam em (2, 3). É ótimo para visualizar, mas a leitura nem sempre é exata.

Muitos livros também ensinam o método da comparação: isolar a mesma incógnita nas duas equações e igualar. As retas podem ainda ser paralelas (nenhuma solução, sistema impossível) ou coincidentes (infinitas soluções, sistema indeterminado). Antes, vale revisar equações do 1º grau e coordenadas.

Esses são os passos do método da adição. Na substituição, os passos 2 e 3 viram: isolar uma incógnita e substituir na outra equação.

O que é um sistema de equações do 1º grau?#

São duas (ou mais) equações do 1º grau com as mesmas incógnitas, como x + y = 10 e x − y = 4. A solução é o par de valores que satisfaz todas ao mesmo tempo.

Como resolver um sistema pelo método da adição?#

Deixe os coeficientes de uma incógnita opostos (multiplicando se precisar) e some as equações para ela sumir. Resolva a equação que sobra, substitua o valor e confira.

Como resolver um sistema por substituição?#

Isole uma incógnita em uma das equações, como y = 8 − x, e substitua na outra. Sobra uma equação com uma incógnita só.

Como montar um sistema de equações a partir de um problema?#

Dê uma letra para cada valor desconhecido e transforme cada informação do texto em uma equação. Duas incógnitas pedem duas informações independentes.

Como resolver um sistema com 3 incógnitas?#

Você precisa de três equações. Elimine a mesma incógnita duas vezes até ficar com um sistema de duas equações e duas incógnitas, e depois volte substituindo.

E os sistemas do 2º grau?#

Quando uma das equações tem x² ou xy, normalmente se usa substituição, e a equação que sobra é do 2º grau. Pode haver duas soluções.