Matemática
O que são triângulos semelhantes e como calcular um lado que falta?
Resposta rápida
Triângulos semelhantes têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Os ângulos são iguais e os lados são proporcionais, com a mesma razão de semelhança.
Numa frase
Dois triângulos são semelhantes quando um é uma ampliação (ou redução) exata do outro: mesmos ângulos e lados proporcionais.
Explicação
Tire uma foto de um triângulo com o celular e dê zoom. O triângulo fica maior, mas a forma não muda: os ângulos continuam iguais e todos os lados crescem na mesma proporção. O triângulo ampliado e o original são semelhantes. Eles aparecem em todo lugar: uma árvore e sua sombra, uma rampa e seus apoios, uma planta baixa e o terreno de verdade.
árvore
sol
régua
Dois triângulos são semelhantes quando:
- os ângulos correspondentes são iguais (congruentes), e
- os lados correspondentes são proporcionais.
A divisão entre lados correspondentes é a razão de semelhança, geralmente chamada de k. Se o triângulo ABC é semelhante ao DEF, escrevemos △ABC ~ △DEF. A ordem das letras importa: A corresponde a D, B a E e C a F. Então
DE ÷ AB = EF ÷ BC = DF ÷ AC = k
Essa é a "fórmula" dos triângulos semelhantes: uma fração para cada par de lados correspondentes (os lados homólogos), todas iguais. No fundo, é trabalhar com razão e proporção.
Para mostrar que dois triângulos são semelhantes, não é preciso conferir tudo. Basta um destes casos de semelhança:
- AA (ângulo–ângulo): dois pares de ângulos iguais. O terceiro também é igual, porque a soma dos ângulos de um triângulo é 180°.
- LLL (lado–lado–lado): os três pares de lados são proporcionais.
- LAL (lado–ângulo–lado): dois pares de lados proporcionais e o ângulo entre eles igual.
Um caso muito comum é traçar dentro de um triângulo uma reta paralela a um dos lados. O triângulo pequeno de cima e o triângulo inteiro têm um ângulo em comum, e a paralela deixa os outros ângulos iguais (ângulos correspondentes). Eles são semelhantes pelo caso AA. É a mesma ideia do teorema de Tales: retas paralelas cortadas por transversais formam segmentos proporcionais.
Os comprimentos são multiplicados por k, mas as áreas são multiplicadas por k². Dobrando todos os lados, a área fica quatro vezes maior, porque a base e a altura dobraram.
Exemplos
| Triângulo 1 | Triângulo 2 | Verificação | Semelhantes? |
|---|---|---|---|
| lados 3, 4, 5 | lados 6, 8, 10 | 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2 | sim, k = 2 |
| ângulos 40°, 60° | ângulos 60°, 80° | terceiros ângulos: 80° e 40° | sim (AA) |
| lados 4, 6, 8 | lados 6, 9, 13 | 6/4 = 1,5; 9/6 = 1,5; 13/8 = 1,625 | não |
| lados 5 e 8, ângulo de 50° entre eles | lados 10 e 16, ângulo de 50° entre eles | 10/5 = 16/8 = 2 | sim (LAL) |
Calcular um lado. △ABC ~ △DEF com AB = 4 cm, BC = 6 cm e DE = 10 cm. A razão é k = 10 ÷ 4 = 2,5, então EF = 6 · 2,5 = 15 cm.
Sombras. Uma pessoa de 1,5 m projeta uma sombra de 2 m. No mesmo instante, uma árvore projeta uma sombra de 12 m. Os raios do sol chegam aos dois com o mesmo ângulo, então os triângulos são semelhantes: altura ÷ sombra é igual nos dois. Altura da árvore = 1,5 · 12 ÷ 2 = 9 m.
Erros comuns
- Combinar os lados errados. Correção: combine os lados pelo ângulo oposto a eles: o menor com o menor, o maior com o maior. Se um triângulo estiver girado ou espelhado, redesenhe os dois na mesma posição.
- Somar em vez de multiplicar. Passar de 4 para 10 é "· 2,5", não "+ 6". Todos os lados são multiplicados pela mesma razão.
- Usar k para a área. Se k = 3, a área fica 3² = 9 vezes maior, não 3.
- Usar só um pedaço do lado no triângulo com a paralela. Compare o triângulo pequeno com o triângulo grande inteiro: use AB, não só o segmento DB.
Passo a passo
Passo a passo
- Confira se são semelhantesUse AA, LLL ou LAL. Muitas vezes bastam dois ângulos iguais ou uma reta paralela.
- Combine os vérticesDecida qual vértice corresponde a qual. Se ajudar, desenhe os triângulos lado a lado, na mesma posição.
- Ache a razão de semelhançaEscolha um par de lados correspondentes conhecidos: k = lado novo ÷ lado original.
- Calcule o lado que faltaMultiplique por k para ir do pequeno ao grande; divida por k para ir do grande ao pequeno.
- ConfiraO triângulo maior tem de ter os lados maiores, e todas as razões devem dar o mesmo k.
Também dá para montar uma proporção e multiplicar em cruz: se 4/10 = 6/x, então 4x = 60 e x = 15. É a mesma conta feita com a razão de semelhança.
Exercícios
Triângulos semelhantes
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Um triângulo de lados 2, 3 e 4 cm é ampliado com razão 3. Quais são os novos lados?
Ver resposta
2 · 3, 3 · 3, 4 · 3 = 6, 9 e 12 cm - Os triângulos de lados 5, 12, 13 e 10, 24, 26 são semelhantes?
Ver resposta
10/5 = 24/12 = 26/13 = 2: sim, com k = 2 - Os triângulos de lados 3, 5, 6 e 6, 10, 11 são semelhantes?
Ver resposta
6/3 = 2 e 10/5 = 2, mas 11/6 ≈ 1,83: não - Um triângulo tem ângulos de 50° e 70°. Outro tem ângulos de 70° e 60°. São semelhantes?
Ver resposta
O terceiro ângulo do primeiro é 180° − 50° − 70° = 60°. Os dois têm 50°, 60° e 70°: sim (AA) - Um triângulo tem ângulos de 45° e 85°. Outro tem ângulos de 45° e 55°. São semelhantes?
Ver resposta
Terceiros ângulos: 50° e 80°. Os ângulos são 45°, 50°, 85° e 45°, 55°, 80°: não - △ABC ~ △PQR, com AB = 6 cm e PQ = 9 cm. Qual é a razão de semelhança de ABC para PQR?
Ver resposta
9 ÷ 6 = 1,5 - Nos mesmos triângulos, BC = 8 cm. Calcule QR.
Ver resposta
8 · 1,5 = 12 cm - Nos mesmos triângulos, PR = 15 cm. Calcule AC.
Ver resposta
15 ÷ 1,5 = 10 cm - Dois triângulos semelhantes têm lados correspondentes de 4 cm e 10 cm. O menor tem perímetro de 15 cm. Qual é o perímetro do maior?
Ver resposta
k = 10 ÷ 4 = 2,5, então 15 · 2,5 = 37,5 cm - Dois triângulos semelhantes têm razão 3. O menor tem área de 5 cm². Qual é a área do maior?
Ver resposta
5 · 3² = 45 cm² - Dois triângulos semelhantes têm áreas de 16 cm² e 36 cm². Qual é a razão entre os lados?
Ver resposta
√16 : √36 = 4 : 6 = 2 : 3 - Um triângulo tem lados de 6 cm e 9 cm com ângulo de 40° entre eles; outro tem lados de 4 cm e 6 cm com 40° entre eles. São semelhantes?
Ver resposta
6/4 = 9/6 = 1,5 e o ângulo entre os lados é igual: sim (LAL) - No triângulo ABC, D está em AB e E está em AC, com DE paralelo a BC. AD = 4 cm, AB = 10 cm e DE = 6 cm. Calcule BC.
Ver resposta
△ADE ~ △ABC (AA), k = 10 ÷ 4 = 2,5, então BC = 6 · 2,5 = 15 cm - Na mesma figura, AE = 5 cm. Calcule AC e EC.
Ver resposta
AC = 5 · 2,5 = 12,5 cm, então EC = 12,5 − 5 = 7,5 cm - Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide a hipotenusa em segmentos de 4 cm e 9 cm. Calcule a altura h.
Ver resposta
Os dois triângulos menores são semelhantes: h/4 = 9/h, então h² = 36: h = 6 cm (relação métrica h² = m · n)
Problemas
Triângulos semelhantes no dia a dia
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Uma aluna de 1,6 m projeta uma sombra de 2 m. No mesmo horário, um mastro projeta uma sombra de 15 m. Qual é a altura do mastro?
Ver resposta
1,6 ÷ 2 = h ÷ 15, então h = 1,6 · 15 ÷ 2 = 12 m - Uma rampa sobe de modo uniforme. Um apoio de 0,5 m fica a 2 m (medidos no chão) do início da rampa, e a rampa termina a 8 m do início. A que altura fica o fim da rampa?
Ver resposta
0,5 ÷ 2 = h ÷ 8, então h = 2 m - Você coloca um espelho no chão a 10 m de um prédio e se afasta até ver nele o topo do prédio. Você está a 2 m do espelho e seus olhos estão a 1,5 m do chão. Qual é a altura do prédio?
Ver resposta
Os ângulos no espelho são iguais, então os triângulos são semelhantes: h = 1,5 · 10 ÷ 2 = 7,5 m - Uma vela triangular tem 6 m de altura e 4 m de base. Um barco de brinquedo tem uma vela semelhante de 30 cm de altura. Qual é a base dessa vela?
Ver resposta
k = 30 ÷ 600 = 0,05, então 400 cm · 0,05 = 20 cm - Numa planta, um jardim triangular tem lados de 3 cm, 4 cm e 5 cm. O menor lado real mede 12 m. Calcule o maior lado real e a área real.
Ver resposta
k = 1.200 cm ÷ 3 cm = 400, então o maior lado mede 5 · 400 cm = 20 m. É um triângulo retângulo de catetos 12 m e 16 m: área = ½ · 12 · 16 = 96 m²
Perguntas frequentes
O que é necessário para que dois triângulos sejam semelhantes?
Que tenham os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes proporcionais. Na prática, basta um dos casos de semelhança: AA, LLL ou LAL.
Como identificar triângulos semelhantes?
Procure dois ângulos iguais (muitas vezes vêm de retas paralelas ou de um ângulo comum) ou confira se as três razões entre os lados dão o mesmo número.
Por que aparecem triângulos semelhantes no triângulo retângulo?
A altura relativa à hipotenusa divide o triângulo retângulo em dois triângulos menores, e os três são semelhantes entre si (todos têm um ângulo reto e compartilham os outros ângulos). Daí saem as relações métricas, como h² = m · n.
Qual é a diferença entre triângulos semelhantes e congruentes?
Semelhantes têm a mesma forma; triângulos congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho. São semelhantes com razão 1.
Qual é o símbolo de semelhança?
O símbolo é ~: △ABC ~ △DEF lê-se "o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF". Para congruência usa-se ≅ ou ≡.
Quiz rápido
Triângulos semelhantes
Veja o que você sabe com 4 perguntas rápidas.
Pergunta 1 de 4
Dois triângulos têm ângulos de 30° e 70°. O que se pode afirmar?
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