Matemática
O que são triângulos congruentes e como provar que dois triângulos são congruentes?
Resposta rápida
Triângulos congruentes têm exatamente a mesma forma e o mesmo tamanho, com lados e ângulos correspondentes iguais. Prova-se com os casos LLL, LAL, ALA, LAAo e cateto-hipotenusa.
Numa frase
Dois triângulos são congruentes quando são cópias exatas: cada lado e cada ângulo de um coincide com um lado e um ângulo do outro.
Explicação
Recorte um triângulo de papel e use-o como molde para recortar outro. As duas peças se encaixam perfeitamente uma sobre a outra, mesmo que você precise girar ou virar uma delas. Elas são congruentes: mesma forma e mesmo tamanho. Girar (rotação), deslizar (translação) e espelhar (reflexão) não mudam comprimentos nem ângulos; por isso essas transformações sempre geram uma cópia congruente.
tesoura
régua
lápis
Escrevemos △ABC ≅ △DEF (alguns livros usam ≡), que se lê "o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF". A ordem das letras mostra o que corresponde a quê: A com D, B com E, C com F. Assim, AB = DE, BC = EF e AC = DF, e os ângulos em A e D, B e E, C e F são iguais.
Um triângulo tem seis elementos (três lados e três ângulos), mas não é preciso conferir todos. Três informações bem escolhidas bastam. São os casos de congruência:
- LLL (lado–lado–lado): os três pares de lados são iguais.
- LAL (lado–ângulo–lado): dois pares de lados são iguais e o ângulo formado por eles também.
- ALA (ângulo–lado–ângulo): dois pares de ângulos são iguais e o lado entre eles também.
- LAAo (lado–ângulo adjacente–ângulo oposto): um lado, um ângulo junto a ele e o ângulo oposto a ele são iguais. Como dois ângulos fixam o terceiro, funciona como o ALA.
- Caso especial (cateto-hipotenusa): em dois triângulos retângulos, se as hipotenusas e um par de catetos são iguais, os triângulos são congruentes.
Duas combinações não provam congruência. AAA só prova que os triângulos são semelhantes: mesma forma, talvez outro tamanho. LLA (dois lados e um ângulo que não fica entre eles) pode gerar dois triângulos diferentes, exceto no caso do triângulo retângulo, que é o caso cateto-hipotenusa.
Depois de provar que dois triângulos são congruentes, todos os outros elementos correspondentes também são iguais. É assim que a congruência é usada nas demonstrações, por exemplo para mostrar que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais ou para provar propriedades dos quadriláteros.
Exemplos
| Dados iguais nos dois triângulos | Caso | Congruentes? |
|---|---|---|
| lados de 5, 7 e 8 cm | LLL | sim |
| lados de 6 e 9 cm com ângulo de 50° entre eles | LAL | sim |
| ângulos de 40° e 70° com lado de 10 cm entre eles | ALA | sim |
| ângulos de 30°, 60° e 90°, hipotenusas de 10 cm e 12 cm | nenhum | não (só semelhantes) |
| ângulo reto, hipotenusa de 13 cm, um cateto de 5 cm | cateto-hipotenusa | sim (o outro cateto mede 12 cm nos dois) |
Uma demonstração. Na pipa (deltoide) ABCD, AB = AD e CB = CD. △ABC ≅ △ADC? AB = AD (dado), CB = CD (dado) e AC é lado comum aos dois triângulos. Três pares de lados iguais: LLL, então sim. Portanto, os ângulos em B e em D também são iguais.
Erros comuns
- Usar AAA. Ângulos iguais só provam semelhança. Correção: garanta pelo menos um par de lados iguais.
- Usar LAL com o ângulo errado. O ângulo tem de estar entre os dois lados. Se não estiver, é LLA, que não é caso de congruência.
- Escrever as letras fora de ordem. △ABC ≅ △DEF promete A↔D, B↔E, C↔F. Correção: combine os vértices pelos ângulos iguais antes de escrever.
- Esquecer as informações "de graça". Um lado comum, ângulos opostos pelo vértice e ângulos formados por retas paralelas são iguais sem que o enunciado diga. Procure-os primeiro.
Passo a passo
Passo a passo
- Marque a figuraColoque as mesmas marcas nos lados iguais e nos ângulos iguais dados no enunciado.
- Procure informações de graçaLado comum, ângulos opostos pelo vértice, ângulos alternos ou correspondentes em paralelas, ângulo reto.
- Escolha o casoLLL, LAL, ALA, LAAo ou cateto-hipotenusa? Confira se o ângulo do LAL está entre os dois lados.
- Escreva a conclusãoNomeie os triângulos com os vértices na mesma ordem, justifique cada dado e diga o caso.
- Use o resultadoOs outros lados e ângulos correspondentes agora também são iguais.
Exercícios
Triângulos congruentes
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Dois triângulos equiláteros têm lados de 5 cm. São congruentes?
Ver resposta
Os três pares de lados são iguais: sim (LLL) - Dois triângulos têm lados de 4 cm, 6 cm e 7 cm. São congruentes? Por qual caso?
Ver resposta
Sim, LLL - Dois triângulos têm lados de 5 cm e 8 cm com ângulo de 40° entre eles. Congruentes? Caso?
Ver resposta
Sim, LAL - Dois triângulos têm ângulos de 50° e 60° com um lado de 9 cm entre eles. Congruentes? Caso?
Ver resposta
Sim, ALA - Dois triângulos têm ângulos de 35°, 65° e 80°. Não se sabe nada dos lados. São congruentes?
Ver resposta
Não necessariamente: AAA só prova que são semelhantes. - Dois triângulos têm ângulos de 40° e 75° e um lado de 6 cm oposto ao ângulo de 40°. Congruentes?
Ver resposta
Sim, LAAo (o terceiro ângulo mede 65° nos dois) - Dois triângulos retângulos têm hipotenusa de 10 cm e um cateto de 6 cm. São congruentes? Quanto mede o outro cateto?
Ver resposta
Sim, cateto-hipotenusa. O outro cateto mede √(10² − 6²) = √64 = 8 cm nos dois. - △ABC ≅ △PQR, AB = 7 cm e o ângulo B mede 48°. Ache PQ e o ângulo Q.
Ver resposta
PQ = 7 cm e Q = 48° - △ABC ≅ △XYZ, A = 52° e B = 61°. Ache Z.
Ver resposta
C = 180° − 52° − 61° = 67°, e Z corresponde a C: 67° - △KLM ≅ △RST, KL = 3x + 1 e RS = 13. Ache x.
Ver resposta
3x + 1 = 13, então 3x = 12: x = 4 - △ABC ≅ △DEF com AB = 5 cm, BC = 6 cm e DF = 4 cm. Ache o perímetro de △DEF.
Ver resposta
DE = 5, EF = 6, DF = 4: 15 cm - Dois triângulos têm lados de 7 cm e 5 cm e um ângulo de 30° oposto ao lado de 5 cm. Eles têm de ser congruentes?
Ver resposta
Não: é o caso LLA. Dois triângulos diferentes cumprem esses dados (o ângulo oposto ao lado de 7 cm pode medir cerca de 44,4° ou cerca de 135,6°). - Na pipa ABCD, AB = AD e CB = CD. Qual caso mostra que △ABC ≅ △ADC?
Ver resposta
AB = AD, CB = CD e AC é comum: LLL - Os segmentos AB e CD se cortam em M, com AM = MB e CM = MD. Por que △AMC ≅ △BMD?
Ver resposta
AM = MB, CM = MD e os ângulos em M são opostos pelo vértice: LAL - No triângulo ABC, AB = AC e M é o ponto médio de BC. Prove que B = C.
Ver resposta
AB = AC, BM = CM e AM é comum, então △ABM ≅ △ACM (LLL). Ângulos correspondentes são iguais: B = C
Problemas
Triângulos congruentes no dia a dia
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Duas tesouras de telhado são feitas com vigas de 3 m, 3 m e 5 m. Os triângulos têm a mesma forma e o mesmo tamanho?
Ver resposta
Sim, LLL. Três lados fixos determinam o triângulo por completo; é por isso que triângulos deixam pontes e telhados rígidos. - Para medir a largura AB de um lago, você vai de A até um ponto C e segue a mesma distância até D; depois vai de B passando por C até E, com CE = BC. Você mede DE = 42 m. Qual é a largura do lago?
Ver resposta
AC = CD, BC = CE e os ângulos em C são opostos pelo vértice, então △ABC ≅ △DEC (LAL): AB = DE = 42 m - Dois apoios em forma de triângulo retângulo sob uma rampa têm, cada um, hipotenusa de 2,5 m e altura de 0,7 m. Quanto mede a base de cada um? Eles são congruentes?
Ver resposta
Base = √(2,5² − 0,7²) = √5,76 = 2,4 m; são congruentes pelo caso cateto-hipotenusa - Duas bandeirinhas triangulares são cortadas com lados de 20 cm e 30 cm formando um ângulo de 40°. O terceiro lado será igual?
Ver resposta
Sim: as bandeirinhas são congruentes por LAL, então todos os elementos correspondentes são iguais. - A estrutura 1 tem ângulos de 50° e 60° com uma viga de 8 m entre eles. A estrutura 2 tem ângulos de 60° e 70° com uma viga de 8 m entre eles. São congruentes?
Ver resposta
As duas têm ângulos de 50°, 60° e 70°, mas a viga de 8 m fica oposta ao ângulo de 70° na primeira e ao de 50° na segunda: não
Perguntas frequentes
O que são dois triângulos congruentes?
São triângulos com a mesma forma e o mesmo tamanho. Dá para colocar um sobre o outro e eles coincidem por completo, depois de girar, deslizar ou virar um deles.
Quais são os casos de congruência de triângulos?
LLL, LAL, ALA e LAAo, além do caso especial cateto-hipotenusa para triângulos retângulos. Basta um deles para provar a congruência.
O que são triângulos não congruentes?
São triângulos em que pelo menos um lado ou um ângulo não tem correspondente igual no outro. Eles podem até ter a mesma forma (ser semelhantes) e tamanhos diferentes.
Triângulos congruentes são semelhantes?
Sim. Triângulos congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho, então são semelhantes com razão 1. O contrário não vale: triângulos semelhantes podem ter tamanhos diferentes.
Por que AAA não é caso de congruência?
Porque triângulos com os mesmos ângulos podem ter tamanhos diferentes. Um triângulo equilátero pequeno e um grande têm três ângulos de 60°, mas não são congruentes.
Como construir triângulos congruentes?
Para copiar um triângulo pelo caso LLL, trace um dos lados com a régua, abra o compasso com a medida de cada um dos outros lados e trace dois arcos a partir das pontas. O ponto onde os arcos se cruzam é o terceiro vértice.
Quiz rápido
Triângulos congruentes
Veja o que você sabe com 4 perguntas rápidas.
Pergunta 1 de 4
Dois triângulos têm dois pares de lados iguais, e o ângulo entre esses lados também é igual. Qual caso prova que são congruentes?
Pratique
Experimenta
Pratique triângulos congruentes sem limite
Atividades de geometria
Pratique passo a passo em um curso completo: Matemática · 9º ano
Para os adultos
Temas relacionados
Tipos de triângulos
Os triângulos são classificados pelos lados (equilátero, isósceles, escaleno) ou pelos ângulos (acutângulo, retângulo, obtusângulo). Os três ângulos de qualquer triângulo somam 180 graus.
Triângulos semelhantes
Triângulos semelhantes têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Os ângulos são iguais e os lados são proporcionais, com a mesma razão de semelhança.
Transformações: reflexão, rotação e translação
As transformações movem uma figura sem mudar seu tamanho nem sua forma. A translação a desliza, a reflexão a vira num espelho e a rotação a gira em torno de um ponto.
Ângulos
Ângulo mede a abertura entre duas linhas que se encontram num ponto. Medimos em graus (°): o ângulo reto tem 90° e uma volta completa tem 360°.
Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal
Quando uma transversal corta duas paralelas, os ângulos correspondentes e os alternos são congruentes, e os colaterais somam 180°. Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.
Área do círculo
A área do círculo é pi vezes o raio ao quadrado, A = πr². Um círculo de raio 5 cm tem área de cerca de 78,5 centímetros quadrados.