O que são radicais na matemática e como simplificar?

Algumas raízes quadradas são exatas: √9 = 3 e √25 = 5. A maioria não é. √2 = 1,41421356… e os algarismos continuam para sempre, sem repetir: √2 é um número irracional. Quando escrevemos esse número com o sinal de raiz em vez de arredondar, estamos trabalhando com radicais. Em ∛5, o sinal √ é o radical, o número de dentro (5) é o radicando e o número pequeno (3) é o índice. Se o índice não aparece, ele é 2: uma raiz quadrada.

Em inglês, essas raízes não exatas se chamam surds (no Reino Unido) ou radicals (nos Estados Unidos). As regras são as mesmas em qualquer lugar.

Por que não usar a calculadora? Porque um decimal é só uma aproximação, e o radical é exato. Se um quadrado tem lados de 1 m, o teorema de Pitágoras diz que a diagonal mede √(1² + 1²) = √2 m. Escrever 1,41 m é quase certo; escrever √2 m é exatamente certo, e continua certo até o fim da conta. Radicais aparecem o tempo todo em geometria e trigonometria: sen 60° vale exatamente √3/2.

A propriedade principal é que a raiz se distribui no produto e no quociente:

√(a · b) = √a · √b e √(a : b) = √a : √b

Para simplificar um radical, procure o maior quadrado perfeito que divide o radicando e tire a raiz dele para fora. √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2. Se você não enxergar o quadrado, a fatoração em primos ajuda: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3², e cada par de fatores iguais sai como um só, então √72 = 2 · 3 · √2 = 6√2.

Só dá para somar e subtrair radicais semelhantes, os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando, assim como dá para somar 3x + 5x mas não 3x + 5y. Então 3√2 + 5√2 = 8√2, mas √2 + √3 fica como está. Muitas vezes é preciso simplificar antes para ver que são semelhantes: √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2.

Por fim, costumamos tirar a raiz do denominador. Isso é a racionalização de denominadores: multiplique em cima e embaixo pelo radical, porque √a · √a = a. Para 6/√3, multiplique por √3/√3 e obtenha 6√3/3 = 2√3.

Radicais também são potências de expoente fracionário: √a = a^½ e ∛a = a^⅓. Por isso as propriedades das potências funcionam também com radicais.

Para um denominador como 3 − √2, multiplique em cima e embaixo pelo conjugado 3 + √2. Embaixo fica (3 − √2)(3 + √2) = 9 − 2 = 7, já sem raiz.

O que são radicais na matemática?#

São expressões com raízes, como √2, ∛5 ou 3√7. Eles importam principalmente quando a raiz não é exata, porque assim um número irracional fica escrito de forma exata, sem arredondar.

Como simplificar radicais?#

Fatore o radicando e tire para fora os fatores que formam um quadrado (ou um cubo, se o índice for 3): √50 = √(25 · 2) = 5√2. O radical está simplificado quando não sobra nenhum fator quadrado dentro.

Como somar radicais?#

Simplifique cada um e some só os semelhantes, com mesmo índice e mesmo radicando: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3. Radicais diferentes, como √2 + √3, não se juntam.

Como multiplicar radicais?#

Com o mesmo índice, multiplique os coeficientes entre si e os radicandos entre si: 2√3 · 4√2 = 8√6. Para dividir é igual: √50 : √2 = √25 = 5.

Como resolver radicais com potência de expoente fracionário?#

O índice vira o denominador do expoente: √a = a^½, ∛a = a^⅓ e ∛(a²) = a^⅔. Assim você usa as propriedades das potências, por exemplo √a · √a = a^½ · a^½ = a.

O que é racionalizar um denominador?#

É tirar a raiz de baixo da fração multiplicando em cima e embaixo pelo radical certo ou pelo conjugado: 6/√3 = 6√3/3 = 2√3.

Isso tem a ver com radicais livres?#

Não. "Radicais livres" são moléculas estudadas em química e biologia. Na matemática, "radical" vem do latim radix, "raiz".