Matemática
O que é a planificação de um sólido geométrico e como é a planificação do cubo?
Resposta rápida
A planificação é a figura plana que, dobrada, forma um sólido geométrico. A do cubo tem 6 quadrados ligados pelos lados, e o cubo tem 11 planificações diferentes.
Numa frase
A planificação é o que você obtém quando abre um sólido geométrico e o estica sobre a mesa: uma figura plana que, dobrada de novo, forma o sólido.
Explicação
Pegue uma caixa de cereal vazia, descole com cuidado as abas e deixe-a bem achatada sobre a mesa. O papelão que está na sua mão é a planificação da caixa. Todas as faces continuam ali, ligadas às vizinhas pelas linhas de dobra. Dobre de novo e a caixa volta.
caixa
tesoura
cola
As faces de um poliedro são figuras planas, então a planificação também é feita de figuras planas. Para saber como ela é, conte as faces do sólido e diga a forma de cada uma (veja faces, arestas e vértices):
| Sólido | Figuras da planificação |
|---|---|
| Cubo | 6 quadrados |
| Paralelepípedo (bloco retangular) | 6 retângulos, iguais dois a dois |
| Prisma de base triangular | 2 triângulos e 3 retângulos |
| Pirâmide de base quadrada | 1 quadrado e 4 triângulos |
| Pirâmide de base triangular (tetraedro) | 4 triângulos |
| Cilindro | 2 círculos e 1 retângulo |
| Cone | 1 círculo e 1 setor circular (uma "fatia de pizza" de um círculo maior) |
Um sólido pode ter várias planificações, porque dá para abri-lo cortando por arestas diferentes. O cubo tem 11 planificações diferentes. Duas planificações contam como uma só se uma for a outra girada ou virada. Um paralelepípedo com comprimento, largura e altura todos diferentes tem 54.
Nem todo grupo de 6 quadrados forma um cubo. Ao dobrar, dois quadrados podem cair na mesma face e deixar um buraco em outro lugar. Três testes rápidos:
- Nunca mais de 4 quadrados em linha reta. O quinto quadrado cairia em cima do primeiro.
- Nenhum bloco de 2 × 2 quadrados. Quatro quadrados em bloco não se dobram.
- Faces opostas nunca se tocam. Numa fileira reta de três quadrados, o primeiro e o terceiro ficam um de frente para o outro.
A esfera é a exceção: ela não tem planificação. Não dá para achatar uma bola sem esticar ou rasgar, e é por isso que todo mapa-múndi plano é um pouco distorcido.
A planificação também ajuda a calcular a área total: a área da planificação é a soma das áreas de todas as faces do sólido.
Exemplos
- A cruz. Uma fileira de 4 quadrados com um quadrado em cima e outro embaixo do segundo. É a planificação do cubo mais conhecida.
- A escada. Quadrados de dois em dois: 2, depois 2, depois 2, cada par deslocado um quadrado. Também forma um cubo.
- O cilindro. Numa lata de 3 cm de raio e 8 cm de altura, o retângulo tem 8 cm de altura e o comprimento da circunferência da base: 2 × π × 3 ≈ 18,8 cm.
- Não é planificação. Seis quadrados num retângulo de 2 × 3 contêm blocos de 2 × 2, então não formam um cubo.
Erros comuns
- Contar errado as faces. Um prisma de base triangular tem 5 faces, não 6. Solução: conte primeiro as faces do sólido e só depois desenhe.
- Achar que quaisquer 6 quadrados formam um cubo. Solução: procure fileiras de 5 ou mais, blocos de 2 × 2 e quadrados que cairiam na mesma face.
- Desenhar o retângulo do cilindro curto demais. O comprimento dele precisa ser igual ao comprimento da circunferência (2πr), senão as bases não encaixam.
- Contar planificações giradas como novas. Solução: recorte. Se uma se encaixa exatamente sobre a outra, é a mesma.
Passo a passo
Passo a passo
- Conte as facesDiga o nome do sólido e liste as faces; por exemplo, o cubo: 6 quadrados.
- Desenhe a fileira do meioCom a régua, trace uma fileira de 4 quadrados iguais, por exemplo de 5 cm. Serão as quatro faces laterais.
- Acrescente a base e a tampaDesenhe um quadrado em cima e outro embaixo do mesmo quadrado da fileira.
- Faça as abasDesenhe abas pequenas em 7 das bordas de fora, para poder colar.
- Recorte, dobre e coleRecorte o contorno, dobre todas as linhas para o mesmo lado e cole as abas por dentro.
Por que 7 abas? O cubo tem 12 arestas. Na planificação, 5 delas já estão ligadas por uma dobra, então sobram 12 − 5 = 7 arestas para colar.
Exercícios
Planificação de sólidos
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Quantas faces tem a planificação de um paralelepípedo?
Ver resposta
O paralelepípedo tem 6 faces, então a planificação tem 6 retângulos. - Que figuras formam a planificação de um prisma de base triangular?
Ver resposta
2 triângulos e 3 retângulos - Que sólido se forma com 4 triângulos iguais?
Ver resposta
Uma pirâmide de base triangular (tetraedro) - Uma planificação tem 2 hexágonos e 6 retângulos. Que sólido ela forma?
Ver resposta
Um prisma de base hexagonal - Quantas faces tem a planificação de uma pirâmide de base pentagonal?
Ver resposta
1 pentágono + 5 triângulos = 6 faces - Seis quadrados numa única fileira reta: é uma planificação do cubo?
Ver resposta
Não. As pontas se sobreporiam. Nunca há mais de 4 quadrados em linha. - Seis quadrados formando um retângulo de 2 × 3: é uma planificação do cubo?
Ver resposta
Não. Há blocos de 2 × 2, que não se dobram. - Uma fileira de 4 quadrados com um quadrado em cima e outro embaixo do segundo: é uma planificação do cubo?
Ver resposta
Sim, é a cruz. - Uma fileira de 4 quadrados com os outros dois quadrados em cima da fileira: é uma planificação do cubo?
Ver resposta
Não. Os dois quadrados extras se dobram sobre a tampa, e falta a base. - Na cruz, a fileira é numerada 1, 2, 3, 4 e os quadrados 5 e 6 estão em cima e embaixo do 2. Que quadrado fica oposto ao 1?
Ver resposta
Numa fileira, quadrados separados por um ficam opostos: o 3. - A planificação de um cubo é feita de quadrados de 6 cm de lado. Qual é a área dela?
Ver resposta
6 × 6 × 6 = 216 cm² - Qual é a área da planificação de um paralelepípedo de 5 cm × 3 cm × 2 cm?
Ver resposta
2 × (15 + 10 + 6) = 2 × 31 = 62 cm² - Um cilindro tem 7 cm de raio. Qual é o comprimento do retângulo da planificação? Use π ≈ 3,14.
Ver resposta
2 × 3,14 × 7 = 43,96 cm - Toda planificação do cubo tem 14 lados no contorno. Qual é o perímetro de uma planificação com quadrados de 4 cm?
Ver resposta
14 × 4 = 56 cm
Problemas
Planificações no dia a dia
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Você vai montar uma caixa de presente em forma de cubo com 10 cm de aresta. Quanto papelão é preciso, sem contar as abas?
Ver resposta
6 × 10 × 10 = 600 cm² - Uma caixa de lenços tem 24 cm de comprimento, 12 cm de largura e 10 cm de altura. Qual é a área da planificação, sem abas?
Ver resposta
2 × (288 + 240 + 120) = 2 × 648 = 1.296 cm² - Uma lata tem 4 cm de raio e 11 cm de altura. Qual é o tamanho do rótulo de papel que dá a volta nela? Use π ≈ 3,14.
Ver resposta
Comprimento: 2 × 3,14 × 4 = 25,12 cm, então 25,12 cm por 11 cm (cerca de 276 cm²). - Num dado, faces opostas somam 7. Na planificação de um dado, você escreve 3 numa ponta de uma fileira de três quadrados. Que número vai na outra ponta?
Ver resposta
As pontas de uma fileira de três ficam opostas: 7 − 3 = 4. - Uma barraca é um prisma de base triangular com 2 m de comprimento. Cada ponta é um triângulo de 1,6 m de base e 0,6 m de altura, e cada lado inclinado tem 1 m de largura. Quanto tecido cobre as duas pontas e os dois lados inclinados?
Ver resposta
Pontas: 2 × (1,6 × 0,6 ÷ 2) = 0,96 m²; lados: 2 × 1 × 2 = 4 m²; total 4,96 m²
Perguntas frequentes
O que é a planificação de sólidos geométricos?
É a figura plana que se obtém ao abrir um sólido, cortando por algumas arestas. Dobrada nas linhas, ela forma o sólido sem buracos e sem sobreposições.
Quantas planificações tem o cubo?
Exatamente 11. Todas têm 6 quadrados, e versões giradas ou viradas do mesmo desenho não contam de novo.
Como saber se uma planificação forma um cubo?
Ela precisa ter 6 quadrados, nenhuma fileira com mais de 4 e nenhum bloco de 2 × 2. Depois, imagine a dobra: se dois quadrados caem na mesma face, não é planificação. Recortar e dobrar é o teste mais seguro.
Como é a planificação do cilindro e do cone?
O cilindro vira 2 círculos e um retângulo. O cone vira 1 círculo e um setor de um círculo maior.
A esfera tem planificação?
Não. Uma superfície curva como a de uma bola não pode ficar plana sem esticar, então a esfera não tem planificação exata. Bolas de futebol e globos chegam perto usando muitas peças pequenas.
Como fazer a planificação do cubo para montar?
Desenhe a cruz com régua (uma fileira de 4 quadrados, mais um em cima e um embaixo), acrescente 7 abas, recorte, dobre todas as linhas e cole as abas.
Como trabalhar planificação com barbante?
Monte um esqueleto do sólido com canudos e barbante: assim a criança vê as arestas. Depois cubra cada face com papel e abra, para ver a planificação.
Quiz rápido
Planificação de sólidos geométricos
Veja o que você sabe com 4 perguntas rápidas.
Pergunta 1 de 4
Quantos quadrados tem a planificação de um cubo?
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Atividades de sólidos geométricos
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