Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano?

Imagine o mapa do seu bairro desenhado em papel quadriculado. Sua casa está em (1, 2) e a biblioteca em (4, 6). Seguindo a malha, você andaria 3 quadradinhos para a direita e 4 para cima, mas um passarinho voaria direto. Quanto mede essa linha reta? É isso que a fórmula da distância calcula.

Se você desenhar o deslocamento horizontal e o vertical, aparece um triângulo retângulo. O segmento AB é o maior lado, a hipotenusa. Então a fórmula é o teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) disfarçado. Para A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂):

d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Muitos livros escrevem com as letras dos pontos: dAB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). É a mesma coisa.

Para a casa e a biblioteca: Δx = 4 − 1 = 3 e Δy = 6 − 2 = 4, então d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 quadradinhos.

Três ideias que ajudam:

• A ordem dos pontos não importa. 3 − 7 = −4 e 7 − 3 = 4, mas ao quadrado os dois dão 16.
• Distância nunca é negativa. Quadrados não são negativos, e usamos a raiz positiva.
• Mesmo x ou mesmo y? Não precisa da fórmula. Se os pontos têm o mesmo x, estão numa reta vertical: basta subtrair os y. De (2, 3) a (2, −4) são 3 − (−4) = 7 unidades. Com o mesmo y, subtraia os x.

Muitos resultados não são exatos. √20 é aproximadamente 4,47 e, simplificando, vale 2√5 (veja raiz quadrada). Se pedirem o valor exato, deixe com a raiz.

A mesma ideia vale no espaço: acrescente a diferença das alturas z como terceiro quadrado, d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). É assim que se calcula a diagonal de uma caixa.

A distância anda junto com outras duas fórmulas para dois pontos dados por suas coordenadas: o ponto médio, ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2), que fica bem no meio do segmento, e o coeficiente angular, (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), que diz o quanto a reta é inclinada.

Conferência rápida: a distância tem de ser pelo menos do tamanho da maior das duas diferenças e no máximo a soma delas. De (1, 2) a (4, 6), 5 está entre 4 e 3 + 4 = 7: faz sentido.

O que é a distância entre dois pontos?#

É o comprimento do segmento de reta que liga os dois pontos, ou seja, a menor distância entre eles, em linha reta.

Qual é a fórmula da distância entre dois pontos?#

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Você subtrai os x e os y, eleva ao quadrado, soma e tira a raiz quadrada.

Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano?#

Se os pontos têm o mesmo x ou o mesmo y, basta subtrair as outras coordenadas. Se não, desenhe o triângulo retângulo ou use a fórmula: eleve Δx e Δy ao quadrado, some e tire a raiz.

Como a distância entre pontos aparece na geometria analítica?#

É uma das primeiras fórmulas do assunto. Com ela você verifica se um triângulo é isósceles ou retângulo, calcula perímetros e encontra a equação da circunferência: os pontos a uma distância r do centro.

Como calcular a distância entre um ponto e uma reta?#

Para o ponto P(x₀, y₀) e a reta ax + by + c = 0, a distância é |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Do ponto (1, 2) à reta 3x + 4y − 1 = 0: |3 + 8 − 1| / 5 = 2.

Como medir a distância entre dois pontos no Google Maps?#

No computador, clique com o botão direito no mapa, escolha "Medir distância" e clique nos pontos. O mapa mede sobre a superfície curva da Terra, então não usa esta fórmula plana, mas para uma área pequena a fórmula dá uma ótima aproximação.